PROPRIÉTÉS REMARQUABLES DE PIONS SUR UN HEXIQUIER

On sait que sur un hexiquier ayant la forme d’un losange, entièrement recouvert de pions blancs et de pions noirs en nombres quelconques, il existe toujours une chaîne de pions de même couleur blancs ou noirs, reliant soit les 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°1), soit les 2 rangées extrêmes, (Diag. N°2).

On ignore cependant qu’il existe TOUJOURS, non pas une seule chaîne de pions, mais DEUX chaînes de pions :

-  de couleurs différentes reliant les 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°3), ou

-  de couleurs différentes reliant les 2 rangées extrêmes, (Diag. N°4), ou

-  de la même couleur reliant l’une les 2 colonnes extrêmes et l’autre les 2 rangées extrêmes, (Diag. N°5).

Percolation - D2

Si ces propriétés plus étendues ont pu parfois être constatées, et considérées comme des singularités résultant d’une répartition particulière des pions, en montrer la permanence et le démontrer constituaient une entreprise qui n’avait pas encore été menée à bien.

Nous donnons de ces nouvelles propriétés une démonstration directe très simple, et, en annexe, une démonstration par récurrence. On pourrait aussi utiliser le théorème du point fixe de Brouwer, comme l’a fait en 1970 David Gale pour démontrer qu’il existait toujours une chaîne de pions reliant 2 côtés opposés extrêmes, mais nous préférons utiliser le raisonnement par récurrence qui permet de mieux comprendre les causes spécifiques de ces propriétés.

Ces nouvelles propriétés sont équivalentes à la propriété détaillée suivante: il existe toujours soit une chaîne de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes, soit une chaîne de pions noirs reliant les 2 colonnes extrêmes, ou à la propriété détaillée suivante : il existe toujours soit une chaîne de pions noirs reliant les 2 rangées extrêmes, soit une chaîne de pions blancs reliant les 2 colonnes extrêmes. Nous démontrons ces 2 dernières propriétés en utilisant la méthode de la descente infinie de Pierre de Fermat.

Nous définissons ensuite la notion de zones opposées sur le contour d’un hexiquier ce qui permet d’étendre ces propriétés à d’autres hexiquiers ayant la forme d’un parallélogramme, d’un trapèze, d’un rectangle ou ayant une forme quelconque.

Un chapitre est consacré aux hexiquiers ayant la forme d’un triangle et possédant la propriété suivante bien connue : il existe toujours un pion relié aux 3 côtés du triangle grâce à 3 chaînes de pions ayant la même couleur que celle du pion. Nous donnons de cette propriété une démonstration par récurrence.

Au chapitre «  autre exemple » nous rassemblons l’ensemble des propriétés précédentes pour un hexiquier ayant une forme quelconque.

Enfin nous savions qu’il était pratiquement impossible de calculer la probabilité d’obtenir une chaîne de pions reliant les 2 colonnes extrêmesou les 2 rangées extrêmes d’un hexiquier ayant par exemple la forme d’un rectangle de 7×11 cases. Grâce aux propriétés que nous avons définies au 4è chapitre ce calcul devient possible. Nous donnons quelques résultats obtenus par des calculs faits à la main pour des hexiquiers ayant un petit nombre de cases. Bien que ces calculs puissent être faits à la main pour des hexiquiers plus grands, dans ce cas il sera préférable d’utiliser un programme dont l’algorithme reproduira la méthode de calcul exposée

 

Consultez l’étude…

 

Comments are closed.