3.15 – Démonstration de John Nash (*)

John Nash a proposé une démonstration non constructive du fait que les Blancs jouent et gagnent quel que soit l’ordre n de l’hexiquier Hn. Ce raisonnement comprend 3 parties. 

  • Première partie. Une démonstration purement topologique  montre que, quels que soient les coups des 2 joueurs, il existe toujours, soit une chaîne complète de pions blancs reliant les 2 bandes extrêmes, soit une chaîne complète de pions noirs reliant les 2 bandes extrêmes, mais jamais ces 2 chaînes simultanément. En d’autres termes il n’y a jamais de parties nulles.

 

  • Deuxième partie. Puisque ce jeu est fini, avec seulement 2 résultats possibles, et que les joueurs jouent alternativement en disposant d’une information complète, un théorème de Zermelo, redécouvert par von Newmann et Morgenstern, affirme que l’un des 2 joueurs doit avoir une stratégie gagnante

 

  • Troisième partie  (John Nash)

1 – Supposons que les Blancs aient une stratégie gagnante, c’est-à-dire disposent d’un ensemble de règles qui indiquent comment jouer dans chaque cas. Alors par  hypothèse, les Blancs gagnent.

 

2 – Supposons maintenant que les Noirs aient une stratégie gagnante. Nous allons démontrer que, dans                ce cas aussi, les Blancs gagnent.

2.1 – Les Blancs, s’ils connaissent cette stratégie des Noirs, en inversant les mots Blancs et Noirs dans ces règles, l’adoptent pour eux, sauf pour le premier coup qu’ils doivent jouer et qui n’est pas prévu.

2.2 – Les Blancs jouent au hasard ce premier coup et ne le prennent pas en  compte dans l’application des règles de la stratégie qu’ils jouent.

2.3 – Les Blancs peuvent ainsi toujours appliquer la stratégie gagnante des Noirs, sauf si elle leur demande de jouer sur une case où le premier coup des Noirs a été joué. Dans un tel cas, ils jouent encore sur une case choisie au hasard, et si, plus loin, ils ont à jouer sur cette case, ils en choisissent une autre, etc.

2.4 – Cette stratégie de jeu fait gagner les pions blancs, car le pion supplémentaire du début ne  peut qu’aider les Blancs à relier les deux rangées extrêmes par une chaîne continue de pions. Par conséquent les Blancs gagnent.

2.5 – Ce résultat est absurde car il ne peut y avoir de stratégie gagnante à la fois pour les Blancs et les Noirs.

2.6 – Donc il n’y a pas de stratégie gagnante pour les Noirs. Donc il y en a une pour les Blancs.

 

Le raisonnement de John Nash comprend quelques faiblesses. En effet l’examen du diag. n°59 montre que pour gagner les Blancs ne peuvent pas jouer au hasard leur premier coup comme indiqué dans son raisonnement, paragraphe 2.2. En effet si 1.(5,1), (6,5), (6,4), (6,3), (6,2) et (6,1) les Noirs gagnent.

 

En réalité il existe, sur la position initiale de l’hexiquier d’ordre n, deux ensembles de cases.

1 – Les cases sur lesquelles les Blancs jouent leur premier coup et gagnent en utilisant la stratégie de gain des Blancs.

2 – Les cases sur lesquelles les Blancs jouent leur premier coup et perdent car les Noirs gagnent en utilisant la stratégie de gain des Blancs, le pion que les Blancs jouent  à leur premier coup ne les empêchant pas de perdre.

 

Le raisonnement de John Nash ne permet donc pas de démontrer que les Blancs jouent et gagnent. On est par conséquent ramené au résultat établi par Zermelo, à savoir qu’au jeu d’Hex un joueur dispose nécessairement d’une stratégie gagnante, sans pouvoir cependant savoir si ce sont les Blancs ou les Noirs car tout dépend de la case sur laquelle les Blancs jouent leur premier coup.

 

Comment savoir sur quelle case les Blancs peuvent jouer leur premier coup pour gagner ? La réponse à cette question est donnée dans cette étude. Nous avons ainsi démontré que les Blancs jouent et gagnent sur un hexiquier d’ordre n, quel que soit n.

 

(*) 1. Jeu d’Hex, Martin Gardner, La mathématique des jeux, janvier 1999 pp. 11-17, dans bibliothèque pour la Science.

2. Les vérités mathématiques, Jean-Paul Delahaye, pour la Science n° 237,  juillet 1997. pp.100-104

 

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