Jeu d’Hex

Que sait-on du jeu d’Hex ?

On sait que John Nash a démontré que les Blancs jouent et gagnent sur un hexiquier(1) Hn d’ordre n, quel que soit n. Mais on ne connaît pas :

  • La stratégie générale de gain, car la démonstration de John Nash est non-constructive.
  • Les élémentFs de tactique qui permettraient de gagner grâce à cette stratégie générale.
  • Une ligne de jeu gagnante pour un hexiquier Hn d’ordre n quelconque.
  • La plus courte ligne de jeu gagnante (solution) pour un hexiquier Hn, n>6, par exemple pour n=9.
  • A fortiori la solution d’un hexiquier Hn, quelque soit l’ordre n. 

On trouvera dans cette étude les réponses à toutes ces questions. En particulier la réponse à la dernière question est donnée par une congruence (mod.6) et par 6 polynômes du second degré.

Toutes les analyses ont été faites en analysant un seul coup des Blancs chaque fois qu’ils ont le trait et tous les coups des Noirs chaque fois qu’ils ont le trait. Ces analyses ont utilisé de très nombreuses positions-types, certaines paramétrées, qui se rencontrent très souvent. De plus, grâce aux attaques doubles (attaques multiples) qui ont un effet dévastateur, on réduit considérablement la longueur des analyses, attaques doubles et autres manœuvres dont pourraient s’inspirer avec avantage les joueurs du jeu d’Hex.

L’utilisation systématique des solutions des positions permet de démontrer qu’il existe des relations de récurrence entre les nombres de coups h(n) et h(n-6) des solutions des hexiquiers Hn et Hn-6 de la forme :

h(n)=u(n) +h(n-6)

u (n) désignant un nombre de coups dépendant de n.

Cette relation de récurrence ne peut être établie que pour n≥7

Cette étude a été entièrement faite sans l’aide d’un ordinateur. Le lecteur qui désirerait connaître l’importance des analyses faîtes à la main voudra bien se reporter à la pagination de l’étude manuscrite donnée en annexe.

On notera enfin que de très nombreuses analyses faîtes sans l’aide d’un ordinateur, de positions du jeu d’Echecs, opposant un Fou et un Cavalier à un Cavalier, ont permis de mettre au point la méthode d’analyse utilisée dans cette étude.

(1) Nous proposons d’appeler hexiquier Hn, d’ordre n, le support, dont la forme générale est un losange, composé de nxn cases hexagonales sur lesquelles se joue le jeu d’Hex.

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