6 – Solution du Jeu d’Hex

 

Nous nous proposons de donner la ligne de jeu et le nombre de coups de la solution de l’hexiquier Hn d’ordre n.

Rappelons les résultats que nous avons obtenus pour n≤6.

Si n est pair : Hn=1/4n2+1

Si n est impair : Hn=1/4(n2-1)+1.

H1=1, H2=2, H3=3, H4=5, H5=7, H6=10.

 

6.1 Hexiquier d’ordre7. (Diag. n°70).

 

Ligne de jeu

Nombre de coups (n=7)

1.(6,6),(5,5); 2.(5,6),(4,5); 3.(4,6),(2,5)

n-4

4.(3,5),(2,4) ;

n-6

5.(2,2),(3,3); 6.(3,2),(4,3); 7.(4,2),(6,3)

n-4

8.(5,3),(6,4) ;

n-6

9.(3,4),(2,5) ;

1

10.(5,4),(6,5)

1

H1 et les B.g. en 1+1=2c

2

 

Donc : H7=2(n-4)+2(n-6)+4+H1

Ou : H7=4(n-4)+H1,              n=7  (I)

 

 

 

 Jeu d Hex D84

6.2 Hexiquier d’ordre 8. (Diag n°85

Ligne de jeu

Nombre de coups (n=8)

1.(7,7),(6,6);2.(6,7),(5,6); 3.(5,7),(4,6);4.(4,7),2,6);

n-4

5.(3,6),(2,5); 6.(3,5),(2,4);

n-6

7.(2,2),(3,3); 8.(3,2),(4,3); 9.(4,2),(5,3);

n-4

10.(5,2),(7,3) ;

n-6

11.(6,3),(7,4); 12.(6,4),(7,5);

1

13.(3,4),(2,3);

1

14.(6,5),(7,6).

2

 

H2 et les B.g. en 1+1=2c.

Donc : H8=2(n-4)+2(n-6)+4+H2

Ou H8=4(n-4)+H2 ,      n=8.  (II)

 

Jeu d Hex D85
6.3 Hexiquier d’ordre 9. (Diag n°86) 

Jeu d Hex D86

 

Ligne de jeu

Nombre de coups (n=9)

1.(8,8),(7,7); 2.(7,8),(6,7); 3.(6,8),(5,7); 4.(5,8),(4,7); 5.(4,8),(2,7) ;

n-4

6.(3,7),(2,6); 7.(3,6),(2,5); 8.(3,5),(2,4) ;

n-6

9.(2,2),(3,3); 10.(3,2),(4,3); 11.(4,2),(5,3); 12.(5,2),(6,3); 13.(6,2),(8,3) ;

n-4

14.(7,3),(8,4); 15.(7,4),(8,5); 16.(7,5),(8,6) ;

n-6

17.(3,4),(2,3) ;

1

18.(7,6),(8,7) ;

1

H3 et les B.g. en 1+1=2c.

2

 

Donc            H9=2(n-4)+2(n-6)+4+H3

Ou H9=4(n-4)+H3      (III)

 

6.4 Hexiquier d’ordre 10. (Diag. n°87).Jeu d Hex D87

Ligne de jeu

Nombre de coups (n=9)

1.(9,9),(8,8); 2.(8,9),(7,8); 3.(7,9,(6,8); 4.(6,9),5,8) ; 5.(5,9),(4,8); 6.(4,9),(2,8) ;

n-4

7.(3,8),(2,7); 8.(3,7),(2,6); 9.(3,6),(2,5); 10.(3,5),(2,4) ;

n-6

11.(2,2),(3,3) ; 12.(3,2),(4,3) ; 13.(4,2),(5,3) ; 14.(5,2),(6,3) ; 15.(6,2),(7,3) ; 16.(7,2),(9,3);

n-4

17.(8,3,(9,4); 18.(8,4),(9,5); 19.(8,5),(9,6); 20.(8,6),(9,7) ;

n-6

21.(3,4),(2,3) ;

1

22.(8,7),(9,8) ;

1

H4 et les B.g. en 1+1=2c

2

 

Donc            H10=2(n-4)+2(n-6)+4+H4

Ou H10=4(n-4)+H4 (IV)

 

6.5 Hexiquiers d’ordre n, n≥7   

Nous venons d’établir les quatre relations :

 

                        H7=(n-4)+H1    ,           n=7      (I)

H8=4(n-4)+H2  ,           n=8      (II)

H9=4(n-4)+H3, n=9      (III)

H10=4(n-4)+H 4,           n=10    (IV)

 

Il est inutile de poursuivre les analyses. On a :

 

Hn=4(n-4)+Hn-6,         n≥7.

Les valeurs des hexiquiers Hn, n≤6, étant toutes différentes, on doit distinguer  six. cas.

Commençons par supposer que n=6k+1,  k≥1

La relation :         Hn=4(n-4)+Hn-6

s’écrit alors :         H6k+1=4(6k-3)+H6k-5                      

ou :                        H6k+1=12(2k-1)+H6k-5

 


On a par conséquent les λ relations suivantes :

 

k=1      H7=12(2-1)+H1

k=2      H13=12(2×2-1)+H7

k=3      H19=12(2×3-1)+H13

-          -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -

k=λ-1   H6λ-5=12[2x(λ-1)-1]+H6λ-11

k=λ      H6λ+1=12(2λ-1)+H6λ-5

————————————————-

H6λ+1=12[2(1+2+3+…+λ)+ H1

= 12x2x(1/2)xλ(λ+1)-12λ+H1

=12λx(λ+1)-12λ+H1

=12λ2+H1

Soit en remplaçant λ par n :

1.         n=6k+1,           k≥1      H6n+1=4n(3n+0)+1                   (1)

2          n=6k+2,           k≥1      H6n+2=4n(3n+1)+2                   (2)

3          n=6k+3,           k≥1      H6n+3=4n(3n+2)+3                   (3)

4          n=6k+4            k≥1      H6k+4=4n(3n+3)+5                   (4)

5          n=6k+5            k≥1      H6n+5=4n(3n+4)+7                   (5)

6          n=6k+6            k≥1      H6n+6=4n(3n+5)+10                 (6)

 

6.6 Récapitulation des résultats obtenus,

 

Au cours de cette étude on a obtenu les résultats suivants :

 

H1        =1

H2        =2

H3        =3

H4        =5

H5        =7

H6        =10

H6n+1=4n(3n+0)+1       n≥1

H6n+2=4n(3n+1)+2       n≥1

H6n+3=4n(3n+2)+3       n≥1

H6n+4=4n(3n+3)+5       n≥1

H6n+5=4n(3n+4)+7       n≥1

H6n+6=4n(3n+5)+10     n≥1

 

 

6.7 Application

Quel est le nombre minimum de coups qui permet aux Blancs de gagner sur un hexiquier d’ordre 1000 ?

 

On a :                    1000 ≡ 4  (mod.6)

Par conséquent :             H1000=H6×166+4

Soit :                      n=166

Par conséquent : H1000=4×166(3×166+3)+5

H1000=332 669

Il résulte de ce qui précède qu’il est nécessaire et suffisant que les Blancs disposent de 332 669 pions blancs pour gagner sur un hexiquier d’ordre 1000, quelle que soit la défense des Noirs.

 


 

6.8 Coefficient de remplissage

Supposons que la solution de l’hexiquier d’ordre n comprenne Hn coups joués par les Blancs. Le nombre total de cases occupées par les pions des 2 camps, pour la solution, est égal à :

 

Hn+(Hn-1)=2Hn-1

 

Nous proposons d’appeler coefficient de remplissage de la solution, Rn, le rapport du nombre de cases occupées au nombre total des cases de l’hexiquier d’ordre n.

 

Rn=(2Hn-1)/n2

 

Tous calculs faits on observe que Rn tend vers 2/3 lorsque n tend vers l’infini.

Achevons cette étude en précisant que la théorie que nous  avons développé permet de résoudre d’autres jeux, par exemple le jeu de bridge-it et le jeu Y.

 

 

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