10. Autre exemple

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10.1. Soit un hexiquier de forme quelconque Q 8, 8 représenté sur le diagramme N°1, et inscrit dans un hexiquier H10 pour pouvoir définir ses cases par les coordonnées (i, j). Soit aussi une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques, recouvrant la totalité de l’hexiquier Q 8, 8..



Nous avons démontré les propriétés suivantes.


1.1. Si l’on définit de façon arbitraire 4 côtés sur la périphérie de l’hexiquier Q 8, 8, il existe toujours une des 6 propriétés PI, PII, PIII, PIII*, PIV et PIV*.

1.2. Si l’on définit de façon arbitraire 3 côtés sur la périphérie de l’hexiquier Q 8, 8, il existe toujours un pion relié à ces 3 côtés par des chaînes de pions de la même couleur que celle de ce pion.


10.2. Définissons de façon arbitraire 4 côtés B 1, B2, N1 et N2.


Supposons que les 4 côtés soient définis par les cases suivantes :

       B: (1,3), (1,2), (1,1), (2,1), (3,1), (4,2), (5,3).

       B: (10,7), (10,8), (9,8), (8,8), (8,9), (8,10).

       N: (6,3), (6,2), (7,2), (8,2), (9,3), (9,4), (9,5), (10,6).

       N2 : (7,10), (6,10), (5,9), (4,9), (3,8), (2,7), (2,6), (1,5), (1,4).


On observe que l’hexiquier Q 8, 8 , (Diag. N°2), possède la propriété PIII grâce aux 2 chaînes de pions blancs :

       B1 =(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,5)-(7,6)-(8,7).

       B2=(3,6)-(4,6)-(4,5)-(5,5)-(6,5)-(7,6)-(8,6)-(8,5).


La première chaîne relie les côtés B1 et B2 et la seconde les côtés N1 et N2. Ces 2 chaînes ont en commun les 3 pions blancs en (5,5), (6,5) et (7,6).


Supposons que les 4 côtés soient définis par les cases suivantes :

          B: (1,3).

       B: (6,3).

       N: (1,2), (1,1), (2,1), (3,1), (4,2), (5,3).

       N: (6,2), (7,2), (8,2), (9,3), (9,4), (9,5), (10,6), (10,7), (10, 8), (9,8), (8,8), (8,9),  (8,10),(7,10), (6,10), (5,9), (4,9), (3,8), (2,7), (2,6), (1,5), (1,4).


On observe que l’hexiquier Q 8, 8, (Diag. N°3), possède la propriété PII grâce à 2 chaînes de pions reliant les côtés opposés N1 et N2, l’une blanche B1 et l’autre noire N 1.

       B1=(2,2)-(3,3)-(3,4)-(4,5)-(4,6)-(3,6).

       N1=(2,3)-(2,4).

       


10.3. Définissons de façon arbitraire 3 côtés C1, C2 et C3.


Supposons que les 3 côtés soient définis par les cases suivantes :

       C1 : (1,5), (1,4), (1,3), (1,2), (1,1), (2,1), (3,1), (4,2), (5,3), (6,3).

       C2 : (6,2), (7,2), (8,2), (9,3), (9,4), (9,5), (10,6), (10,7), (10,8), (9,8).

       C3 : (8,8), (8,9), (8,10), (7,10), (6,10), (5,9), (4,9), (3,8), (2,7), (2,6).


On observe que l’hexiquier Q 8, 8, (Diag. N°4), possède un pion blanc, le pion (4,5), relié aux 3 côtés C1, C2 et C3 par les 3 chaînes de pions blancs C 1, C2 et C 3.

       C 1=(4,5)-(3,4)-(3,3)-(2,2).

       C 2=(4,5)-(5,5)-(6,5)-(7,6)-(8,6)-(8,5).

       C 3=(4,5)-(4,6)-(3,6).

       

Supposons que les 3 côtés soient définis par les cases suivantes :

       C: (1,4), (1,3).

                       C: (1,2), (1,1), (2,1), (3,1), (4,2), (5,3), (6,3), (6,2), (7,2), (8,2), (9,3), (9,4).

               C: (9,5), (10,6), (10,7), (10,8), (9,8), (8,8), (8,9) , (8,10), (7,10), (6,10), (5,9), (4,9), (3,8), (2,7), (2,6), (1,5).


On observe que l’hexiquier Q 8, 8, (Diag. N°5), possède un pion noir, le pion (2,4), relié aux 3 côtés C1, C2 et C3 par les 3 chaînes de pions noirs C1, C2 et C3.

       C1=(2,4).

       C2=(2,4)-(2,3).

       C3=(2,4)-(2,5).

       


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