11.1. Généralités

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Soit une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques, sur un hexiquier H n d’ordre n. Nous savons que cette répartition possède une des 6 propriétés PI, PII, PIII, PIV, PIII* et PIV*. Nous nous proposons de calculer la probabilité PPx d’obtenir chacune de ces 6 propriétés.


Pour des raisons évidentes de symétrie il est possible de dire que la probabilité d’obtenir la propriété PI est égale à celle d’obtenir la propriété PII ; il en est de même pour les propriétés PIII et PIV ainsi que pour les propriétés PIII* et PIV* qui sont des cas particuliers de ces 2 dernières propriétés. De plus, et pour cette raison, on peut dire que la probabilité d’obtenir la propriété PIII* est inférieure à celle d’obtenir la propriété PIII ; il en est de même pour les propriétés PIV et PIV*.


Dans ce chapitre nous nous proposons de calculer les probabilités P PI, P PII, P PIII, P PIV, PPIII* et P PIV* pour les petites valeurs de l’ordre n des hexiquiers H et des hexiquiers  P n, n-1.


Pour cela, et par exemple pour un hexiquier H n, nous examinerons toutes les répartitions possibles de pions, et, pour chaque répartition, nous désignerons la propriété qu’elle possède, et ceci quel que soit le nombre de chaînes de pions blancs et de pions noirs qui donnent telle ou telle propriété à cette position.


Par exemple la position du diagramme N°1 possède la propriété PII grâce à la chaîne de pions blancs (2,1)-(2,2)-(2,3) et à la chaîne de pions noirs (3,1)-(3,2)-(3,3), mais aussi grâce à la chaîne de pions noirs (1,1)-(1,2)-(1,3). On considère que cette position possède la propriété PII et elle ne sera comptée qu’une fois pour calculer la probabilité d’obtenir la position PII.


En d’autres termes on s’intéressera aux propriétés et non aux chaînes de pions créant ces propriétés. Même remarque pour la position du diagramme N°2 qui possède la chaîne de pions noirs (2,1)-(2,2)-(2,3), mais aussi la chaîne de pions noirs (2,1)-(2,2)-(1,2)-(1,3).



Nous rappelons ici qu’une répartition quelconque de pions ne peut pas posséder 2 propriétés de natures différentes car les 6 propriétés PI, PII, PIII, PIV, PIII* et PIV* sont incompatibles.


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