11.2. Hexiquier Hn

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11.2.1.  Hexiquier H2

Les différents cas possibles sont représentés sur les diagrammes (D1) à (D16) ci-dessous.

                 

       


On peut faire les remarques suivantes.


I. Toutes ces positions sont différentes.


II. Si l’on tient compte du fait que l’hexiquier H2 possède un centre de symétrie au milieu du côté commun aux 2 cases (1,1) et (2,2), on remarque que les positions ci-dessous sont symétriques par rapport à ce centre de symétrie.

(D2) et (D5), (D3) et D4) lorsqu’il n’y a qu’un pion noir.

(D6) et (D11), (D7) et (D10) lorsqu’il y a 2 pions noirs.

(D12) et (D15), (D13) et (D14), lorsqu’il y a 3 pions noirs.

(D8) et (D9). Chacune de ces positions est elle-même symétrique par rapport au centre de symétrie. Ces 2 positions se transforment par conséquent en elles mêmes. Il en est de même pour les positions (D1) et (D16).


III. La moitié de ces 16 positions, représentées par les diagrammes N°9 à16, se déduit de l’autre moitié de ces 16 positions, représentées par les diagrammes N°1 à 8, en changeant la couleur de tous les pions : (D16) et (D1), (D15) et (D2), (D14) et (D3), (D13) et (D4), (D12) et (D5), (D11) et (D6), (D10) et (D7), (D9) et (D8).

On remarque que les propriétés PIII et PIII* deviennent alors les propriétés PIV et PIV*, les propriétés PI et PII restant inchangées.


IV. On obtient les positions comprenant 2 pions noirs de la façon suivante.

1. On place un pion noir en (1,1) et on place le second pion noir sur les cases (1,2), (2,1) et (2,2) dans cet ordre.

2. On place un pion noir en(1,2) et on place le second pion noir sur les cases (2,1) et (2,2) dans cet ordre, sans placer un pion noir en (1,1) car on obtiendrait une position déjà créée.

3. On place un pion noir en (2,2) et on place le second pion noir sur la case (2,1), sans placer un pion noir en (1,1) et en (1,2) car on obtiendrait des positions déjà créées.


Si l’on numérote les cases de l’hexiquier H2, comme représenté sur le diagramme N°17 ci- dessous , on peut récapituler ce qui précède de la façon suivante :


                               (1), 2 ; (1), 3 ; (1), 4

                                       (2), 3 ; (2), 4

                                               (3), 4


Il résulte de ce qui précède que l’on a obtenu les résultats suivants


P\N

0

1

2

3

4

PI

0

0

2

0

0

2

PII

0

0

2

0

0

2

PIII

1

4

0

0

0

5

PIV

0

0

0

4

1

5

PIII*

0

0

1

0

0

1

PIV*

0

0

1

0

0

1

1

4

6

4

1

16

           N : nombre de pions noirs

           P PI   =  2/16 = 0,125

           P PII  = 2/16 = 0,125

           P PIII = 5/16 = 0,3125

           P PIV = 5/16 = 0,3125

           P PIII*= 1/16 = 0,0625

           P PIV*= 1/16 = 0,0625

               

Par conséquent la probabilité P  d’obtenir la propriété PIII ou la propriété PIV est plus grande que celle d’obtenir la propriété PI ou la propriété PII.


Il est possible de déduire de ces résultats la probabilité d’obtenir au moins une chaîne de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes. C’est en effet la somme des probabilités P PI, PPIII et P PIII*, à savoir :

                       0,1250+0,3125+0,0625=0,5


Il en est de même pour les probabilités d’obtenir au moins une chaîne de pions blancs reliant les 2 colonnes extrêmes (P PII+ P PIII+ P PIII*), ou une chaîne de pions noirs reliant les 2 rangées extrêmes (P PI+ P PIV+ P PIV*), ou enfin une chaîne de pions noirs reliant les 2 colonnes extrêmes (P PII+ P PIV+ P PIV*).


11.2.2. Hexiquier H3.


Numérotons les cases de l’hexiquier H3 comme représenté sur le diagramme N°18.


1. La position ne comprend aucun pion noir.

           {Position : 1                1 PIII}

2. La position comprend 1 pion noir.

(1): PIII ; (2): PIII ; (3): PIII ; (4): PIII ; (5): PIII; (6): PIII ; (7):PIII ; (8) :PIII ; (9) :PIII .

       {Positions : 9                9 PIII}


3. La position comprend 2 pions noirs.

(1) 2 : III ; (1) 3 : III ; (1) 4 : III ; (1) 5 : III ; (1) 6 : III ; (1) 7 : III ; (1) 8 : III ; (1) 9 : III

             (2) 3 : III ; (2) 4 : III ; (2) 5 : III ; (2) 6 : III ; (2) 7 : III ; (2) 8 : III ; (2) 9 : III

                        (3) 4 : III ; (3) 5 : III ; (3) 6 : III ; (3) 7 : III ; (3) 8 : III ; (3) 9 : III

                                      (4) 5 : III ; (4) 6 : III ; (4) 7 : III ; (4) 8 : III ; (4) 9 : III

                                                  (5) 6 : III ; (5) 7 : III ; (5) 8 : III ; (5) 9 : III

                                                                (6) 7 : III ; (6) 8 : III ; (6) 9 : III

                                                                            (7) 8 : III ; (7) 9 : III

                                                                                        (8) 9 : III

       { Positions : 36        36PIII}


4. La position comprend 3 pions noirs.

(1,2) 3 : II ; (1,2) 4 : III ; (1,2) 5 : III ; (1,2) 6 : II ; (1,2) 7 : III ; (1,2) 8 : III ; (1,2) 9 : III

               (1,3) 4 : III ; (1,3) 5 : III ; (1,3) 6 : III ; (1,3) 7 : III ; (1,3) 8 : III ; (1,3) 9 : III

                             (1,4) 5 : III ; (1,4) 6 : III ; (1,4) 7 : I ;   (1,4) 8 : I ;   (1,4) 9 : III

                                            (1,5) 6 : II ; (1,5) 7 : III ; (1,5) 8 : I ;   (1,5) 9 : IV*

                                                          (1,6) 7: III ; (1,6) 8 : III ; (1,6) 9 : III

                                                                          (1,7) 8 : III ; (1,7) 9 : III

                                                                                       (1,8) 9 : III

       Positions: 28        3 PI + 3 PII + 21 PIII +1 PIV*

       (2,3) 4 : III ; (2,3) 5 : III ; (2,3) 6 : III ; (2,3) 7 : III ; (2,3) 8 : III ; (2,3) 9 : III

                             (2,4) 5 : III ; (2,4) 6 : III ; (2,4) 7 : III ; (2,4) 8  : III ; (2,4) 9 :III

                                            (2,5) 6 : III ; (2,5) 7 : III ; (2,5) 8 : I ;    (2,5) 9 : I

                                                           (2,6) 7 :III ;  (2,6) 8 : III ;  (2,6) 9 :I

                                                                         (2,7) 8 : III ;  (2,7) 9 :III

                                                                                         (2,8) 9 :III

          Positions: 21              3 PI + 18 PIII

                               (3,4) 5 : III ; (3,4) 6 : III ; (3,4) 7 : III ; (3,4) 8 : III ; (3,4) 9 : III

                                              (3,5) 6 : III ; (3,5) 7 : III ; (3,5) 8 : III ; (3,5) 9 :III

                                                             (3,6) 7 : III ; (3,6) 8 : III ; (3,6) 9 : I

                                                                           (3,7) 8 : III ; (3,7) 9 : III

                                                                                          (3,8) 9 : III

           Positions: 15             1 PI + 14 PIII

                                                            (4,5) 6 : II ; (4,5) 7 : III ; (4,5) 8 : III ; (4,5) 9 : II

                                                             (4,6) 7 : III ; (4,6) 8 : III ; (4,6) 9 : III

                                                                            (4,7) 8 : III ; (4,7) 9 :III

                                                                                           (4,8) 9 :II

            Positions: 10                 3 PII + 7 PIII

                                                             (5,6) 7 : III ; (5,6) 8 : III ; (5,6) 9 : III

                                                                           (5,7) 8 : III ; (5,7) 9 : III

                                                                                         (5,8) 9 : III

            Positions: 6                   6 PIII

                                                                           (6,7) 8 : III ; (6 7) 9 : III

                                                                                         (6,8) 9 : III

             Positions: 3                    3 PIII

                                                                                           (7,8) 9 : II

             Positions: 1                    1 PII

            {Positions: 84                   7 PI ; 7 PII ; 69 PIII ; 1 PIV*}


5. La position comprend 4 pions noirs.

(1,2,3) 4 : II ; (1,2,3) 5 : II ; (1,2,3) 6 : II ; (1,2,3) 7 : II ; (1,2,3) 8 :II ; (1,2,3) 9 : II

          (1,2,4) 5 : III; (1,2,4) 6 :II ; (1,2,4) 7 : I ;  (1,2,4) 8 :I ; (1,2,4) 9 :III

                                (1,2,5) 6 :II ; (1,2,5) 7 :III ; (1,2,5) 8 : I ; (1,2,5) 9 :IV

                                                (1,2,6) 7 :II ; (1,2,6) 8 : II ; (1,2,6) 9 :IV

                                                                (1,2,7) 8 :III ; (1,2,7) 9 :III        

                                                                                (1,2,8) 9 : III

             Positions: 21                     3 PI +10 PII + 6 PIII + 2 PIV


         (1,3,4) 5 : III ; (1,3,4) 6 :III ; (1,3,4) 7 : I ; (1,3,4) 8 :I ; (1,3,4) 9 : III

                                (1,3,5) 6 : II ; (1,3,5) 7 :III ; (1,3,5) 8 :I ; (1,3,5) 9 :IV*        

                                                (1,3,6) 7: III ; (1,3,6) 8 :III ; (1,3,6) 9 :I

                                                                 (1,3,7) 8 :III ; (1,3,7) 9 :III

                                                                                                (1,3,8) 9 :III

           Positions: 15                          4 PI + 1 PII + 9 PIII +1 PIV*

                                   (1,4,5) 6 :II ; (1,4,5) 7 :I ; (1,4,5) 8 :I ; (1,4,5) 9 :IV

                                                   (1,4,6) 7 :I ; (1,4,6) 8 :I ; (1,4,6) 9 :III

                                                                  (1,4,7) 8 :I ; (1,4,7) 9 :I

                                                                                 (1,4,8) 9 :IV

         

          Positions: 10                           6 PI + 1 PII + 1 PIII + 2 PIV

                                                    (1,5,6) 7 : II ; (1,5,6) 8 :IV ; (1,5,6) 9 :IV

                                                                    (1,5,7) 8 :I   ;  (1,5,7) 9 :IV*

                                                                                      (1,5,8) 9 :IV

           Positions: 6                                1 PI +1 PII + 3 PIV +1 PIV*

                                                                     (1,6,7) 8 :III ; (1,6,7) 9 :III

                                                                                      (1,6,8) 9 :III

           Positions: 3                                3 PIII

                                                                                      (1,7,8) 9 :II

           Positions: 1                                1 PII

          {Positions: 56                 14 PI ; 14 PII ; 19 PIII ; 7 PIV ; 2 PIV* }


                     (2,3,4) 5 :II ; (2,3,4) 6 :III ; (2,3,4) 7:III ; (2,3,4) 8 :III ; (2,3,4) 9 :III

                                     (2,3,5) 6 III ; (2,3,5) 7 :III ; (2,3,5) 8 :I ;   (2,3,5) 9 :I

                                                     (2,3,6) 7 :III ; (2,3,6) 8 :III ; (2,3,6) 9 :I  

                                                                     (2,3,7) 8 :III ; (2,3,7) 9 :III

                                                                                      (2,3,8) 9 :III

           Positions: 15                3 PI + 1 PII + 11 PIII

                                       (2,4,5) 6 :II ; (2,4,5) 7 :I ; (2,4,5)  8 :I ;   (2,4,5) 9 :IV

                                                      (2,4,6) 7 :III; (2,4,6) 8 :IV*; (2,4,6) 9 :I

                                                                      (2,4,7) 8 :III  ; (2,4,7) 9 :III

                                                                                        (2,4,8) 9 :II

           Positions: 10                3 PI +2 PII + 3 PIII + 1 PIV +1 PIV*

                                                         (2,5,6) 7:III ; (2,5,6) 8 :I ; (2,5,6) 9 :I

                                                                         (2,5,7) 8 :I ; (2,5,7) 9:I

                                                                                      (2,5,8) 9 : I

           Positions: 6                        5 PI + 1 PIII

                                                                       (2,6,7) 8: III ; (2,6,7) 9 :I

                                                                                       (2,6,8) 9 :I

            Positions: 3                        2 PI + 1 PIII

                                                                                       (2,7,8) 9 :II

            Positions: 1                        1 PII

            Positions: 35                13 PI ; 4 PII ; 16 PIII ; 1 PIV ; 1 PIV *

                                         (3,4,5) 6 :II ; (3,4,5) 7 :III ; (3,4,5) 8 :III ; (3,4,5) 9 :II

                                                       (3,4,6) 7 :III ; (3,4,6) 8 :III ; (3,4,6) 9 :I

                                                                        (3,4,7) 8 :III ; (3,4,7) 9 :III

                                                                                         (3,4,8) 9 :II

          Positions: 10                        1 PI + 3 PII + 6 PIII

                                                       (3,5,6) 7 :III ; (3,5,6) 8 :I ;  (3,5,6) 9 :I

                                                                       (3,5,7) 8 :III ; (3,5,7) 9 :III

                                                                                        (3,5,8) 9 :III

           Positions: 6                        2 PI + 4 PIII

                                                                      (3,6,7) 8 : III ; (3,6,7) 9 :I

                                                                                        (3,6,8) 9 :I

           Positions: 3                        2 PI + 1 PIII

                                                                                       (3,7,8) 9 :II

           Position: 1                        1 PII

           Positions: 20                5 PI ; 4 PII ; 11 PIII

                                                       (4,5,6) 7 :II ; (4,5,6,) 8 :II ; (4,5,6) 9 :II

                                                                       (4,5,7) 8 :III ; (4,5,7) 9 :II

                                                                                       (4,5,8) 9 :II

           Positions: 6                        5 PII + 1 PIII

                                                                           (4,6,7) 8 :III ; (4,6,7) 9 :III

                                                                                         (4,6,8) 9 :II

           Positions: 3                        1 PII + 2 PIII

                                                                                       (4,7,8) 9 :II

           Position: 1                        1 PII

           Positions: 10                7 PII ; 3 PIII

                                                                       (5,6,7) 8 :II ; (5,6,7) 9 :III

                                                                                       (5,6,8) 9 :III

           Positions : 3                1 PII + 2 PIII

                                                                                       (5,7,8) 9 :II

           Position : 1                        1 PII

           Positions : 4                        2 PII ; 2 PIII

                                                                                       (6,7,8) 9 :II

           Position : 1                        1 PII

           {Positions: 126                32 PI ; 32 PII ; 51 PIII ; 8 PIV ; 1 PIII* ; 2 PIV*}


6. La position comprend 5 pions noirs.


Elle comprend par conséquent 4 pions blancs. Il est alors inutile de poursuivre l’analyse car on obtient immédiatement le résultat grâce à l’analyse faite avec 4 pions noirs en remplaçant les propriétés PIII, PIV , PIII* et PIV* respectivement par les propriétés P IV , PIII , PIV* et PIII*.

          {Positions: 126                32 PI; 32 PII ; 8 PIII ; 51 PIV ; 2 PIII* ; 1 PIV*}


7. La position comprend 6 pions noirs.

Elle comprend alors 3 pions blancs.

           {Positions: 84                7 PI ; 7 PII ; 0 PIII ; 69 PIV ; 1 PIII* ; 0 PIV*}


8. La position comprend 7 pions noirs.

Elle comprend alors 2 pions blancs.

         {Positions: 36                        0 PI ; 0 PII ; 0 PIII ; 36 PIV ; 0 PIII* ; 0 PIV*}


9. La position comprend 8 pions noirs.

Elle comprend alors 1 pion blanc.

        {Position : 1                        9  PIV}


10. La position comprend 9 pions noirs.

        {Position : 1                        1  PIV}

Il résulte de ce qui précède que l’on a obtenu les résultats suivants.

                       

P\N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

PI

0

0

0

7

32

32

7

0

0

0

78

PII

0

0

0

7

32

32

7

0

0

0

78

PIII

1

9

36

69

51

8

0

0

0

0

174

PIV

0

0

0

0

8

51

69

36

9

1

174

PIII*

0

0

0

0

1

2

1

0

0

0

4

PIV*

0

0

0

1

2

1

0

0

0

0

4

1

9

36

84

126

126

84

36

9

1

512

     N : nombre de pions noirs.

     PP I=78 / 512 = 0,1523

     PP II=78 / 512 = 0,1523 

    PP III=174/512 = 0,3398

     PP IV=174/512 = 0,3398

     PP III*=   4/512 = 0,0078

     PP IV*=   4/512 = 0,0078


Comme pour l’hexiquier H2 on observe que la probabilité d’obtenir la propriété PIII, ou la propriété PIV est plus grande que celle d’obtenir la propriété P ou la propriété PII.


Il est possible de déduire de ces résultats la probabilité d’obtenir au moins une chaîne de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes. C’est en effet la somme des probabilités des propriétés  PPI, PPIII et PPIII*, à savoir :

                       0,1523 + 0,3398 + 0,0078 = 0,5


Il en est de même pour la probabilité d’obtenir au moins une chaîne de pions blancs reliant les 2 colonnes extrêmes ( PPII+ PPIII+ PPIII*), ou une chaîne de pions noirs reliant les 2 rangées extrêmes ( PPI+ PPIV+ PPIV*), ou enfin une chaîne de pions noirs reliant les 2 colonnes extrêmes (  PPII+ PPIV+ PPIV*), résultats évidents a priori, mais qui permettent de confirmer les calculs qui précèdent.


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