11.3. Hexiquiers Pm, n

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11.3.1. Hexiquier P2 ,3 .

Numérotons les cases de l’hexiquier P 2, 3 comme représenté sur le diagramme N°1.


1. La position ne comprend aucun pion noir.

         {Position : 1                        1 PIII}


2. La position comprend 1pion noir

                       (1) III + (2) III + (3) III + (4) III + (5) III + (6) III

          {Positions : 6                        6 PIII}


3. La position comprend 2 pions noirs.

               (1) 2: III ; (1) 3: III ; (1) 4: I ;  (1) 5: I ; (1) 6: III

                          (2) 3: III ; (2) 4: III ; (2) 5: I ; (2) 6: I

                                      (3) 4: III ; (3) 5: III; (3) 6: I

                                               (4) 5: III; (4) 6: III

                                                          (5) 6: III

          {Positions: 15                5 PI + 10 PIII}


4. La position comprend 3 pions noirs.

                       (1, 2) 3: II; (1,2) 4: I ; (1,2) 5: I ; (1,2) 6 :IV

                                      (1, 3) 4: I; (1,3) 5: I ; (1,3) 6: I

                                                 (1,4) 5: I ; (1,4) 6: I

                                                              (1,5) 6: IV

           Positions: 10                7 PI + 1 PII + 2 PIV

                                        (2,3) 4: III ; (2,3) 5: I ; (2,3) 6: I

                                                     (2,4) 5: I ; (2,4) 6: I

                                                                (2,5) 6: I

           Position: 6                        5 PI + 1 PIII

                                                       (3,4) 5: III ; (3,4) 6: I

                                                                    (3,5) 6: I

           Position: 3                        2 PI + 1 PIII

                                                                     (4,5) 6 : II

           Position: 1                        1 PII

         {Positions: 20                  14 PI + 2 PII + 2 PIII + 2 PIV}


5. La position comprend 4 pions noirs.

Elle comprend alors 2 pions blancs.

         {Positions:15                        5 PII + 10 PIII}


6. La position comprend 5 pions noirs.

Elle comprend alors 1 pion blanc.

          {Positions: 6                        6 PIV}


7. La position comprend 6 pions noirs.

Elle ne comprend alors aucun pion blanc.

          {Position : 1                        1 PIV}

Il résulte de ce qui précède que l’on a obtenu les résultats suivants.


P\N

0

1

2

3

4

5

6

PI

0

0

5

14

0

0

0

19

PII

0

0

0

2

5

0

0

7

PIII

1

6

10

2

0

0

0

19

PIV

0

0

0

2

10

6

1

19

1

6

15

20

15

6

1

64

       N : nombre de pions noirs.

       p P= 19/64 = 0,297

       p PII= 7/64  = 0,109

       p PIII = 19/64 = 0,297

       p PIV = 19/64 = 0,297



On observe que les  probabilités d’obtenir des positions possédant l’une des 3 propriétés P I, P III , P IV  sont égales. De plus la probabilité d’obtenir au moins une chaîne de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes est égale à

                       p PI + p PIII = 0,297 + 0,297 = 0, 594

alors que celle d’obtenir une chaîne de pions blancs reliant les 2 colonnes extrêmes est égale à

                       p PII + p PIV = 0,109 + 0,297 = 0,406

Il en est de même pour les probabilités d’obtenir au moins une chaîne de pions noirs.


11.3.2. Hexiquier P 3, 4.

Tous calculs faits on obtient les résultats suivants.


P\N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

PI

0

0

0

12

96

315

470

60

9

0

0

0

0

962

PII

0

0

0

0

9

60

102

315

96

12

0

0

0

594

PIII

1

12

66

208

387

387

175

28

2

0

0

0

0

1266

PIV

0

0

0

0

2

28

175

387

387

208

66

12

1

1266

PIII*

0

0

0

0

0

0

1

2

1

0

0

0

0

4

PIV*

0

0

0

0

1

2

1

0

0

0

0

0

0

4

1

12

66

220

495

792

924

792

495

220

66

12

1

4096

N : nombre de pions noirs.

p PI= 962 / 4096  = 0,235

p PII= 594 / 4096 = 0,145 

p PIII= 1266/4096 = 0,309

p PIV= 1266/4096 = 0,309

p PIII*=   4/4096 = 0,001

p PIV*=   4/4096 = 0,001


On peut faire les observations suivantes.


1. La probabilité d’obtenir une position possédant la propriété P II est égale à celle d’obtenir une position possédant la propriété P IV.


2. La probabilité d’obtenir une position possédant la propriété P I  est égale à celle d’obtenir une position possédant la propriété P II.


3. La probabilité d’obtenir une position possédant la propriété P III ou P IV est supérieure à celle d’obtenir une position possédant la propriété P I ou P II.


4. La probabilité d’obtenir au moins une chaîne de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes est égale à

                       p PI + p PIII + p PIII* = 0,235 + 0,309 + 0,001 = 0, 545

alors que celle d’obtenir au moins une chaîne de pions blancs reliant les 2 colonnes  extrêmes est égale à

                       p PII + p PIV + p PIV* = 0,145 + 0,309 + 0,001 = 0,455

Il en est de même pour les probabilités d’obtenir au moins une chaîne de pions noirs.


5. D’une façon générale, pour un hexiquier P (n 1), n, la probabilité d’obtenir au moins une chaîne de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes

                       p PI + p PIII + p PIII*

tend à devenir égale à celle d’obtenir au moins une chaîne de pions blancs reliant les 2 colonnes extrêmes

                        p PII + p PIV + p PIV*

lorsque n tend vers l’infini.


Même remarque pour une chaîne de pions noirs.


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