12.1. Introduction

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Nous nous proposons de démontrer par récurrence les propriétés PI, PII, PIII, PIV, PIII*, PIV* et par conséquent les propriétés PO et PO*. Rappelons que toutes les démonstrations qui précèdent dans  cette étude reposent sur la propriété fondamentale que pour un hexiquier Hn d’ordre n, ayant la forme générale d’un losange, et pour toutes répartitions de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques, recouvrant la totalité de cet hexiquier, il existe toujours une chaîne de pions de la même couleur reliant 2 côtés opposés de ce losange.


On a donné de nombreuses démonstrations de cette propriété. En particulier il en existe une, très originale, qui utilise le théorème du point fixe de Brouwer.


A notre connaissance le premier mathématicien qui a utilisé ce théorème pour démontrer cette propriété est l’américain David Gale (1921-2008) « The game of Hex and the Brouwer fixed-point theorem. American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 818-827. »


Bien évidemment il est possible de démontrer les 8 propriétés que nous avons rappelées plus haut en utilisant aussi le théorème du point fixe de Brouwer. Nous préférons utiliser le raisonnement par récurrence qui permet de mieux comprendre les causes profondes de ces propriétés.


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