12.4. Démonstration

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12.4.1. L’hexiquier H2 possède les propriétés PI, PII, PIII, PIII*, PIV et PIV*

Montrons que, quelle que soit la répartition des pions blancs et des pions noirs, en nombres quelconques, recouvrant la totalité de l’hexiquier H2, cet hexiquier possède toujours l’une des propriétés PI, PII, PIII, PIII*, PIV et PIV*.


Examinons tous les cas possibles.


a. Tous les pions sont de la même couleur, par exemple blancs, (Diag. N°1).


Cet hexiquier possède plusieurs fois la propriété PIII grâce aux chaînes de pions suivantes :

             B1=(1,1)-(1,2) et B2=(1,1)-(2,1).

             B3=(1,1)-(1,2) et B4=(1,2)-(2,2).

et aux chaînes de pions obtenues à partir de celles-ci grâce à une symétrie par rapport au centre de symétrie de l’hexiquier H2 situé au milieu du côté commun aux 2 cases (1,1) et (2,2).


b. Un seul pion est noir.  

Compte tenu de la symétrie de l’hexiquier 2 cas sont possibles.

       B1=(2,2)-(1,2) et B2=(2,2)-(2,1), PIII, (Diag. N°2).

       B3=(1,2)-(1,1) et B4=(1,2)-(2,2), PIII, (Diag. N°3).

       


c. Deux pions sont noirs.

Compte tenu de la symétrie de l’hexiquier 4 cas sont possibles.

       B1=(1,2)-(2,2) et B2=(1,1)-(2,1), PI, (Diag. N°4).

       B3=(2,1)-(2,2) et B4=(1,1)-(1,2). PII, (Diag. N°5).

       B5=(1,1)-(2,2), PIII*, (Diag. N°6).

       B6=(1,1)-(2,2), PIV*, (Diag. N°7).


d. Trois pions sont noirs.

On a déjà analysé ce cas. Il suffit en effet de changer la couleur de tous les pions du point 2.On obtient la propriété PIV.


e. Quatre pions sont noirs.        

On a déjà analysé ce cas. Il suffit en effet de changer la couleur de tous les pions du point 1 .On obtient la propriété PIV.


Avant de passer à la 2e partie du raisonnement par récurrence, et bien que ce ne soit pas nécessaire, il est bon, pour bien comprendre la démonstration de cette 2e partie, de démontrer que, puisque l’hexiquier H2 possède les propriétés remarquables, alors l’hexiquier H3 les possède aussi.


Soit un hexiquier H3, (Diag. N°8). Examinons l’hexiquier H2 (1,1). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PI, PII, PIII, PIII*, PIV et PIV*.


e.1. L’hexiquier H2 (1,1) possède la propriété PI, par exemple grâce à la chaîne de pions blancs b et à la chaîne de pions noirs n, (Diag. N°9)

       b=(1,1)-(2,1) et n=(1,2)-(2,2)

Examinons l’hexiquier H2 (2,1). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PI, PIII, PIII* et PIV.


e.1.1. L’hexiquier H2 (2,1) possède la propriété PI grâce aux chaînes b et n (Diag. N°10).

       b=(2,1)-(3,1) et n=(2,2)-(3,2).

On observe que l’hexiquier H3 possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N

       B=(1,1)-(2,1)-(3,1) et N=(1,2)-(2,2)-(3,2).


e.1.2. L’hexiquier H2 (2,1) possède la propriété PIII grâce aux chaînes b1 et b2, (Diag. N°11)

       b1=(2,1)-(3,1) et b2=(3,1)-(3,2).

    Examinons l’hexiquier H2 (2,2). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PII, PIII, PIV et PIV*.


e.1.2.1. L’hexiquier H2 (2,2) possède la propriété PII grâce aux chaînes b et n, (Diag. N°12)

       b=(3,2)-(3,3) et n=(2,2)-(2,3)

On observe que l’hexiquier H3 possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B

       B1=(1,1)-(2,1)-(3,1) et B2=(3,1)-(3,2)-(3,3).


e.1.2.2. L’hexiquier H2 (2,2) possède la propriété PIII grâce aux chaînes b1 et b2, (Diag. N°13)

       b1=(3,2)-(3,3) et b2=(3,3)-(2,3)

On observe que l’hexiquier H3 possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2

       B1=(1,1)-(2,1)-(3,1) et B2=(3,1)-(3,2)-(3,3)


e.1.2.3. L’hexiquier H2 (2,2) possède la propriété PIV grâce aux chaînes n1 et n2, (Diag. N°14)

       n1=(2,2)-(2,3) et n2=(2,3)-(3,3).

On observe que l’hexiquier H3 possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N

       B=(1,1)-(2,1)-(3,1) et N=(1,2)-(2,2)-(3,3).


e.1.2.4. L’hexiquier H2 (2,2) possède la propriété PIV* grâce à la chaîne double  n, (Diag. N°15)

       n=(2,2)-(3,3)

On observe que l’hexiquier H3 possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N

       B=(1,1)-(2,1)-(3,2) et N=(1,2)-(2,2)-(3,3).


e.1.3. L’hexiquier H2 (2,1) possède la propriété PIII* grâce à la chaîne double b, (Diag. N°16)

       b=(2,1)-(3,2).

Examinons l’hexiquier H2 (2,2). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PII, PIII, PIV et PIV*.


e.1.3.1. L’hexiquier H2 (2,2) possède la propriété PII grâce aux chaînes b et n, (Diag. N°17)

       b=(3,2)-(3,3) et n=(2,2)-(2,3)

On  observe que l’hexiquier H3 possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2

       B1=(1,1)-(2,1)-(3,2) et B2=(2,1)-(3,2)-(3,3).


e.1.3.2. L’hexiquier H2 (2,2) possède la propriété PIII grâce aux chaînes b1 et b2, (Diag. N°18)

       b1=(3,2)-(3,3) et b2=(3,3)-(2,3).

On observe que l’hexiquier H3 possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2.

       B1=(1,1)-(2,1)-(3,2) et B2=(2,1)-(3,2)-(3,3).


e.1.3.3. L’hexiquier H2 (2,2) possède la propriété PIV grâce aux chaînes n1 et n2, (Diag. N°19)

       n1=(2,2)-(2,3) et (2,3)-(3,3)

On observe que l’hexiquier H3 possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N.

       B=(1,1)-(2,1)-(3,2) et N=(1,2)-(2,3)-(3,3).


e.1.3.4. L’hexiquier H2 (2,2) possède la propriété PIV* grâce à la chaîne double n, (Diag. N°20)

       n=(2,2)-(3,3)

On observe que l’hexiquier H3 possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N.

       B=(1,1)-(2,1)-(3,2) et N=(1,2)-(2,2)-(3,3).


e.1.4. L’hexiquier H2 (2,1) possède la propriété PIV grâce aux chaînes n1 et n2, (Diag. N°21)

       n1=(3,1)-(3,2) et n2=(2,2)-(3,2).

Examinons l’hexiquier H2 (2,2). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PI et PIV.


e.1.4.1. L’hexiquier H2 (2,2) possède la propriété PI grâce aux chaînes b et n, (Diag. N°22).

       b=(2,3)-(3,3) et n=(2,2)-(3,2).

Examinons l’hexiquier H2 (1,2). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PI et PIV.


e.1.4.1.1. L’hexiquier H2 (1,2) possède la propriété PI grâce aux chaînes b et n, (Diag. N°23).

       b=(1,3)-(2,3) et n=(1,2)-(2,2)

On observe que l’hexiquier H3 possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N

       B=(1,3)-(2,3)-(3,3) et N=(1,2)-(2,2)-(3,2).


e.1.4.1.2. L’hexiquier H2 (1,2) possède la propriété PIV grâce aux chaînes n1 et n2, (Diag. N°24)

       n1=(1,2)-(1,3) et n2=(1,2)-(2,2)

On observe que l’hexiquier H3 possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N2

       N1=(1,2)-(2,2)-(3,2) et N2=(1,3)-(1,2)-(2,2)-(3,2)-(3,1)


e.1.4.2. L’hexiquier H2 (2,2) possède la propriété PIV grâce aux chaînes n1 et n2, (Diag. N°25)

       n1=(2,2)-(3,2) et n2=(2,2)-(2,3)

On observe que l’hexiquier H3 possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N2

       N1=(1,2)-(2,2)-(3,2) et N2=(2,3)-(2,2)-(3,2)-(3,1).


               


On vient ainsi de démontrer que si l’hexiquier H2 (1,1) possède la propriété PI alors l’hexiquier H3 possède toujours l’une des propriétés PI, PIII et PIV. Nous arrêtons ici cette analyse, qui doit se poursuivre en supposant que l’hexiquier H2 (1,1) possède les autres propriétés PII, PIII, PIII*, PIV et PIV*, car elle prend trop de place sans pour autant présenter la moindre difficulté. Si on la poursuit on observe que l’hexiquier H3 possède toujours l’une des propriétés PI, PII, PIII, PIII*, PIV et PIV*.


12.4.2. On suppose que l’hexiquier Hn possède les propriétés PI, PII, PIII, PIII*, PIV et PIV*

Démontrons qu’il en est de même pour l’hexiquier Hn+1 . Dans la suite nous analyserons le seul cas dans lequel l’hexiquier Hn (1,1) possède la propriété PIII* (ou la propriété PIV*) pour ne pas trop allonger cette étude. L’analyse des autres cas est semblable à celle qui suit.


Pour pouvoir représenter l’hexiquier Hn nous avons choisi n=6. On remarquera que si on avait choisi par exemple n=60 on aurait obtenu des positions semblables grâce à l’effet d’échelle.

       L’hexiquier Hn (1,1) possède la propriété PIII*.

L’hexiquier Hn (1,1) possède la propriété PIII* grâce à la double chaîne B, (Diag. N°1)

       B=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6).

Examinons l’hexiquier Hn (2,1). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PI, PII, PIII, PIV et  PIV*.


12.4.2.1. L’hexiquier Hn (2,1) possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N. (Diag. N°2).

       B=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

       N=(2,1)-(3,2)-(4,2)-(5,2)-(6,2)-(7,2).

       


Cette position représente le cas général. Nous étudierons plus loin le cas particulier correspondant à la chaîne N s’étendant sur la 1ère colonne On observera que le fait de placer les chaînes de pions sur des lignes (rangées, colonnes et diagonales) non seulement ne réduit pas la généralité de l’étude mais encore permet d’analyser le plus grand nombre possible de cas.

Examinons l’hexiquier Hn (2,2). Cet hexiquier peut posséder les 2 propriétés PI et PIII.


12.4.2.1.1. L’hexiquier Hn (2,2) possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N, (Diag. N°3).

       B=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

       N=(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7)-(7,7).

Examinons l’hexiquier Hn (1,2). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PI, PIII et PIV.


12.4.2.1.1.1.  L’hexiquier Hn (1,2) possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N, (Diag. N°4).

       B=(1,2)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6).

       N=(1,7)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N.

       B=(1,2)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

         N=(1,7)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7)-(7,7).


12.4.2.1.1.2. L’hexiquier Hn (1,2) possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2, (Diag. N°5).

       B1=(1,2)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6).

       B2=(1,2)-(1,3)-(1,4)-(1,5)-(1,6)-(1,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2.

       B1=(1,2)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

       B2=(1,1)-(1,2)-(1,3)-(1,4)-(1,5)-(1,6)-(1,7).


12.4.2.1.1.3. L’hexiquier Hn (1,2) possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N2, (Diag N°6).

       N1=(1,6)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7).

       N2=(1,2)-(1,3)-(1,4)-(1,5)-(1,6)-(2,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N.

       B=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

       N=(1,6)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7)-(7,7).


12.4.2.1.2. L’hexiquier Hn (2,2) possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2, (Diag. N°7).

       B1=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

       B2=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(6,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2.

       B1=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

       B2=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(6,7).


12.4.2.2. L’hexiquier Hn (2,1) possède la propriété PII grâce aux chaînes B et N, (Diag. N°8).

       

       B=(2,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6).

       N=(7,1)-(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(7,6).

Examinons l’hexiquier Hn (2,2). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PII, PIII* et PIV.


12.4.2.2.1. L’hexiquier Hn (2,2) possède la propriété PII grâce aux chaînes B et N, (Diag. N°9).

       B=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(6,7).

       N=(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(7,6)-(7,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PII grâce aux chaînes B et N.

       B=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(6,7).

       N=(7,1)-(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(7,6)-(7,7).


12.4.2.2.2. L’hexiquier Hn (2,2) possède la propriété PIII*grâce à la chaîne double B, (Diag. N°10).

       

       B=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2.

       B1=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,7).

       B2=(2,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,7).


12.4.2.2.3. L’hexiquier Hn (2,2) possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N, (Diag. N°11).

       N1=(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7)-(7,7).

       N2=(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(7,6)-(7,7)..

Examinons l’hexiquier Hn (1,2). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PI, PIII et PIV.


12.4.2.2.3.1. L’hexiquier Hn (1,2) possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N, (Diag. N°12).

       B=(1,2)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6).

       N=(1,7)-(2,7)-(3 ,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N2.

       N1=(1,7)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7)-(7,7).

       N2=(7,1)-(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(7,6)-(7,7).


12.4.2.2.3.2. L’hexiquier Hn (1,2) possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2, (Diag. N°13).

       B1=(1,2)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6).

       B2=(1,2)-(1,3)-(1,4)-(1,5)-(1,6)-(1,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PII grâce aux chaînes B et N.

       B=(1,1)-(1,2)-(1,3)-(1,4)-(1,5)-(1,6)-(1,7).

       N=(7,1)-(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(7,6)-(7,7).


12.4.2.2.3.3. L’hexiquier Hn (1,2) possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N2, (Diag. N°14).

       N1=(1,6)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7).

       N2=(1,2)-(1,3)-(1,4)-(1,5)-(1,6)-(2,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N2.

       N1=(1,6)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7)-(7,7).

       N2=(7,1)-(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(7,6)-(7,7).


12.4.2.3. L’hexiquier Hn (2,1) possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2, (Diag. N°15).

       B1=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

       B2=(2,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6).

Examinons l’hexiquier Hn (2,2). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PI et PIII.


12.4.2.3.1. L’hexiquier Hn (2,2) possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N, (Diag. N°16).

       

       B=(2,2)-(3 ,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

       N=(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7)-(7,7).

Examinons l’hexiquier Hn (1,2). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PI, PIII et PIV.


12.4.2.3.1.1. L’hexiquier Hn (1,2) possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N, (Diag. N°17).

       B=(1,2)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6).

       N=(1,7)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N.

       B=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

       N=(1,7)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7)-(7,7).


12.4.2.3.1.2. L’hexiquier Hn (1,2) possède la propriété PIII grâce  aux chaînes B1 et B2, (Diag. N°18) ;

       B1=(1,2)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6).

       B2=(1,2)-(1,3)-(1,4)-(1,5)-(1,6)-(1,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2.

       B1=(1,2)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

       B2=(1,1)-(1,2)-(1,3)-(1,4)-(1,5)-(1,6)-(1,7).


12.4.2.3.1.3. L’hexiquier Hn (1,2) possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N2, (Diag. N°19).

       N1=(1,6)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7).

       N2=(1,2)-(1,3)-(1,4)-(1,5)-(1,6)-(2,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N.

       B=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

       N=(1,6)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7)-(7,7).


12.4.2.3.2. L’hexiquier Hn (2,2) possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2, (Diag. N°20).

       B1=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

       B2=(2,2)-(2,3)-(2,4)-(2,5)-(2,6)-(2,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède alors la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2.

       B1=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

       B2=(2,1)-(2,2)-(2,3)-(2,4)-(2,5)-(2,6)-(2,7).


12.4.2.4. L’hexiquier Hn (2,1) possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N2, (Diag. N°21).

       N1=( 2,1)-(3,1)-(4,1)-(5,1)-(6,1)-(7,2).

       N2=(6,1)-(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(7,6).

Examinons l’hexiquier Hn (2,2). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PII, PIII, PIII* et PIV.


12.4.2.4.1. L’hexiquier Hn (2,2) possède la propriété PII grâce aux chaînes B et N, (Diag. N°22).

       

       B=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(6,7).

       N=(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(7,6)-(7,7).                                                                    

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PII grâce aux chaînes B et N.

       B=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(6,7).

       N=(6,1)-(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(7,6)-(7,7).


12.4.2.4.2. L’hexiquier Hn (2,2) possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2, (Diag. N°23).

       B1=(2 ,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,7).

       B2=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(6,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2.

       B1=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,7).

       B2=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(6,7).


12.4.2.4.3. L’hexiquier Hn (2,2) possède la propriété PIII* grâce à la chaîne B, (Diag. N°24).

       

       B=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PIII* grâce à la chaîne B.

       B=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,7).


12.4.2.4.4. L’hexiquier Hn (2,2) possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N2, (Diag. N°25).

       N1=(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7)-(7,7).

       N2=(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(7,6)-(7,7).

Examinons l’hexiquier Hn (1,2). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PI, PIII et PIV.


12.4.2.4.4.1. L’hexiquier Hn (1,2) possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N, (Diag. N°26).

       

       B=(1,2)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6).

       N=(1,7)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N2.

       N1=(1,7)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7)-(7,7).

       N2=(6,1)-(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(7,6)-(7,7).


12.4.2.4.4.2. L’hexiquier Hn (1,2) possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2, (Diag. N°27).

       B1=(1,2)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6).

       B2=(1,2)-(1,3)-(1,4)-(1,5)-(1,6)-(1,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PIII grâce aux chaînes B et N.

       B=(1,1)-(1,2)-(1,3)-(1,4)-(1,5)-(1,6)-(1,7).

       N=(6,1)-(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(7,6)-(7,7).


12.4.2.4.4.3. L’hexiquier Hn (1,2) possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N2, (Diag. N°28).

       N1=(1,6)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7).

       N2=(1,2)-(1,3)-(1,4)-(1,5)-(1,6)-(2,7).

On  observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N2.

       N1=(1,6)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7)-(7,7).

       N2=(6,1)-(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(7,6)-(7,7).


12.4.2.5. L’hexiquier Hn (2,1) possède la propriété PIV* grâce à la chaîne double N, (Diag. N°29).

       N=(2,1)-(3,2)-(4,3)-(5,4)-(6,5)-(7,6).

Examinons l’hexiquier Hn (2,2). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PII, PIII, PIII* et PIV.


12.4.2.5.1. L’hexiquier Hn (2,2) possède la propriété PII grâce aux chaînes B et N, (Diag. N°30).

       B=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(6,7).

       N=(3,2)-(4,3)-(5,4)-(6,5)-(7,6)-(7,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PII grâce aux chaînes B et N.

       B=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(6,7).

       N=(2,1)-(3,2)-(4,3)-(5,4)-(6,5)-(7,6)-(7,7).


12.4.2.5.2. L’hexiquier Hn (2,2) possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2, (Diag. N°31).

       B1=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,7).

       B2=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(6,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2 ;

       B1=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,7).

       B2=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(6,7).


12.4.2.5.3. L’hexiquier Hn (2,2) possède la propriété PIII* grâce à la chaîne double B, (Diag. N°32).

       B=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PIII* grâce à la chaîne double B.

       B=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,7).


12.4.2.5.4. L’hexiquier Hn (2,2) possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N2, (Diag. N°33).

       N1=(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7)-(7,7).

       N2=(3,2)-(4,3)-(5,4)-(6,5)-(7,6)-(7,7).

Examinons l’hexiquier Hn (1,2). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PI, PIII et PIV.


12.4.2.5.4.1. L’hexiquier Hn (1,2) possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N, (Diag. N°34).

       

       B=(1,2)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6).

       N=(1,7)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et  N2.

       N1=(1,7)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7)-(7,7).

       N2=(2,1)-(3,2)-(4,3)-(5,4)-(6,5)-(7,6)-(7,7).


12.4.2.5.4.2. L’hexiquier Hn (1,2) possède la propriété PIII grâce aux chaînes B1 et B2, (Diag. N°35).

            B1=(1,2)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6).

            B2=(1,2)-(1,3)-(1,4)-(1,5)-(1,6)-(1,7).


On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PII grâce aux chaînes B et N.

         B=(1,1)-(1,2)-(1,3)-(1,4)-(1,5)-(1,6)-(1,7).

         N=(2,1)-(3,2)-(4,3)-(5,4)-(6,5)-(7,6)-(7,7).


 

12.4.2.5.4.3. L’hexiquier Hn (1,2) possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N2, (Diag. N°36).

       N1=(1,6)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7).

       N2=(1,2)-(1,3)-(1,4)-(1,5)-(1,6)-(2,7).

On observe que l’hexiquier Hn+1 possède la propriété PIV grâce aux chaînes N1 et N2.

       N1=(1,6)-(2,7)-(3,7)-(4,7)-(5,7)-(6,7)-(7,7).

       N2=(2,1)-(3,2)-(4,3)-(5,4)-(6,5)-(7,6)-(7,7).

Avant de conclure revenons sur le point 1 et supposons que l’hexiquier Hn (2,1) possède la propriété PI grâce aux chaînes B et N, (Diag. N°37).

       

       B=(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

       N=(2,1)-(3,1)-(4,1)-(5,1)-(6,1)-(7,1).

Examinons l’hexiquier Hn (2,2). Cet hexiquier peut posséder les propriétés PI, (Diag. N°38),  et PIII, (Diag. N°39).

       

On observe que dans les 2 cas la chaîne N

       N=(2,1)-(3,1)-(4,1)-(5,1)-(6,1)-(7,1)

disparaît des hexiquiers Hn (2,2) et Hn (1,2). Ceci n’a aucune importance pour la suite de l’analyse car cette chaîne N ne peut pas relier les 2 rangées opposées ni les 2 colonnes opposées, ni même être reliées à une autre chaîne de pions noirs car elle est emprisonnée par la chaîne de pions blancs B

       B=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6).

Il résulte des analyses qui précèdent que si l’hexiquier Hn (1,1) possède la propriété PIII*, alors l’hexiquier Hn+1 possède toujours l’une des propriétés PI, PII, PIII, PIII* et PIV, et si l’hexiquier Hn (1,1) possède la propriété PIV*, alors l’hexiquier Hn+1 possède toujours l’une des propriétés PI, PII, PIII, PIV et PIV*.


12.4.2.4.3. Il résulte de ce qui précède que, puisque l’hexiquier H2 possède l’une des propriétés PI, PII, PIII, PIII*, PIV et PIV*, alors l’hexiquier H3 possède l’une de ces 6 propriétés. L’hexiquier H2 possédant l’une de ces 6 propriétés, alors l’hexiquier H3 possède l’une de ces 6 propriétés, etc., etc.


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