1. Introduction

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Soit une mosaïque composée de nxn cases hexagonales, dont la forme générale est celle d’un losange, et soit une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques, recouvrant la totalité de ce losange.


On sait qu’il existe toujours une chaîne de pions de la même couleur reliant deux côtés  opposés, c’est-à-dire soit les côtés situés en haut et en bas de ce losange, soit les côtés situés à droite et à gauche de ce losange.


On sait aussi qu’au Jeu d’Hex il n’y a pas de parties nulles et on explique ce résultat par le fait qu’il existe toujours une chaîne de  pions de la même couleur reliant deux côtes opposés et que par conséquent il  ne peut pas exister une autre chaîne de pions de l’autre couleur reliant les 2 autres côtés opposés, car  ces 2 chaînes de pions devraient posséder une case commune ayant à la fois les 2 couleurs, ce  qui est évidemment impossible.


Supposons maintenant que 2 joueurs disputent une partie du Jeu d’Hex avec la convention arbitraire suivante : les Blancs gagnent s’ils réussissent à créer une chaîne de pions blancs reliant les côtés situés en haut et en bas de ce losange et les Noirs gagnent s’ils réussissent à créer une chaîne de pions noirs reliant les 2 autres côtés  opposés. Supposons encore qu’à la fin de cette partie les 2 joueurs aient joué tous leurs pions. C’est par conséquent en jouant son dernier pion que le dernier joueur crée une chaîne de pions de la même couleur reliant 2 côtés opposés. Supposons enfin que les Noirs soient ce dernier joueur et qu’ils aient créé une chaîne de pions noirs reliant les côtés situés en haut et en bas de l’hexiquier.  On peut faire 2 remarques. La première c’est que les 2 joueurs ne sont pas très forts au Jeu d’Hex, mais cette remarque n’est pas la plus importante. La plus importante est la seconde : aucun joueur n’a gagné cette partie, en effet les Blancs n’ont pas relié par une chaîne de pions blancs les côtés situés en haut et en bas de ce losange et les Noirs n’ont pas relié par une chaîne de pions noirs les 2 autres côtés. Or, c’est un fait bien établi qu’il n’y a jamais de parties nulles au Jeu d’Hex, et ceci quelle que soit la convention faite en début de partie. Par conséquent il est faux de dire qu’il n’y a jamais de parties nulles au Jeu d’Hex parce qu’il existe toujours une chaîne de pions reliant 2 côtés opposés.


Comment expliquer ce paradoxe ?


On l’explique très simplement parce qu’une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques, recouvrant la totalité de ce losange, possède toujours, non pas une seule chaîne de Pions reliant 2 côtés opposés, mais toujours 2 chaînes de pions reliant 2 côtés opposés, pas toujours de la même couleur et pas toujours les mêmes 2 côtés opposés.


Dans cette étude nous nous proposons de démontrer les différentes propriétés que possèdent ces pions et de généraliser les résultats obtenus à des mosaïques de cases hexagonales de formes générales différentes : carrés, rectangles, parallélogrammes, triangles, voire même de formes quelconques.


Enfin nous calculerons, pour des cas simples, la probabilité pour qu’un type de positions se produise. Les calculs sont facilement généralisables.

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