3. Il existe toujours 2 chaînes de pions

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Démontrons que si un hexiquier Hn possède toujours une chaîne de pions reliant  les 2 rangées extrêmes ou les 2 colonnes extrêmes, alors il existe toujours soit 2 chaînes de pions de couleurs différentes reliant les 2 rangées extrêmes ou les 2 colonnes extrêmes, soit 2 chaînes de pions de la même couleur reliant les 2 rangées extrêmes et les 2 colonnes extrêmes.


Soit Hn un hexiquier d’ordre n (n=6 pour les diagrammes) et sur cet hexiquier une répartition


quelconque de pions blancs et de pions noirs en nombres quelconques. Par hypothèse il existe toujours une chaîne de pions reliant

les 2 rangées extrêmes ou une chaîne de pions reliant les 2 colonnes extrêmes.


3.1. Supposons que cette chaîne de pions soit la chaîne de pions blancs B1


       B1=(1,2)-(2,3)-(3,3)-(4,3)-(4,2)-(5,2)-(6,2).

représentée sur le diagramme N°1.


Soit maintenant,  sur un hexiquier H n+2,  4 chaînes de pions, 2 de pions blancs b1 et b2 et 2 de pions noirs n1 et n2, (Diag. N°2).


       b1=(1,1)-(2,1)-(3,1)-(4,1)-(5,1)-(6,1)-(7,1).

       b2=(8,8)-(7,8)-(6,8)-(5,8)-(4,8)-(3,8)-(2,8).

       n1=(1,8)-(1,7)-(1,6)-(1,5)-(1,4)-(1,3)-(1,2).

       n2=(8,1)-(8,2)-(8,3)-(8,4)-(8,5)-(8,6)-(8,7).


On remarque que ces 4 chaînes de pions font apparaître un hexiquier H n au centre de l’hexiquier H n+2.


Plaçons l’hexiquier H n du diagramme N°1 au centre de l’hexiquier H n+2, (Diag. N°3).

Par hypothèse l’hexiquier H n+2 possède soit une chaîne de pions reliant ses 2 rangées extrêmes, et cette chaîne ne peut être qu’une chaîne de pions noirs, soit  une chaîne de pions reliant ses 2 colonnes extrêmes, et cette chaîne ne peut être qu’une chaîne de pions blancs.


3.1.1. S’il existe une chaîne de pions noirs reliant les 2 rangées extrêmes de l’hexiquier H n+2, il existe alors une chaîne de pions noirs, par exemple la chaîne N1, reliant les 2 rangées extrêmes de l’hexiquier H n, (Diag. N°4).


       N1=(1,4)-(2,5)-(3,5)-(4,6)-(5,6)-(5,5)-(5,4)-(6,4).

       (Les coordonnées des cases appartiennent à l’hexiquier H6).


L’hexiquier H6 possède alors 2 chaînes de pions reliant les 2 rangées extrêmes, l’une blanche et l’autre noire.


3.1.2. Sil existe une chaîne de pions blancs reliant les 2 colonnes extrêmes de l’hexiquier H n+2, il existe alors une chaîne de pions blancs, par exemple la chaîne B2, reliant les 2 colonnes extrêmes de l’hexiquier H n, (Diag. N°5).

       

B2=(4,1)-(4,2)-(4,3)-(5,4)-(5,5)-(4,5)-(3,5)-(3,6).


L’hexiquier H6 possède alors 2 chaînes de pions blancs, l’une reliant ses 2 rangées extrêmes et l’autre ses 2 colonnes extrêmes.



3.2. Supposons maintenant que cette chaîne de pions soit la chaîne de pions noirs N 2

       

       N2=(5,1)-(5,2)-(5,3)-(4,3)-(4,4)-(5,5)-(5,6).

représentée sur le diagramme N°6.


Plaçons cet hexiquier H n du diagramme N°6 au centre de l’hexiquier H n+2, (Diag. N°7).



Par hypothèse l’hexiquier Hn+2 possède soit une chaîne de pions reliant ses 2 rangées extrêmes, et cette chaîne ne peut être qu’une chaîne de pions noirs, soit une chaîne de pions reliant ses 2 colonnes extrêmes, et cette chaîne ne peut être qu’une chaîne de pions blancs.


3.2.1. S’il existe une chaîne de pions noirs reliant les 2 rangées extrêmes de l’hexiquier H n+2, il existe alors une chaîne de pions noirs, par exemple la chaîne N3 , reliant les 2 rangées extrêmes de l’hexiquier H n, (Diag. N°8).

       N3=(1,3)-(2,3)-(3,4)-(4,4)-(4,3)-(5,3)-(6,4).

L’hexiquier H n possède alors 2 chaînes de pions noirs, l’une reliant ses 2 rangées extrêmes et l’autre ses 2 colonnes extrêmes.


3.2.2. S’il existe une chaîne de pions blancs reliant les 2 colonnes extrêmes de l’hexiquier Hn+2, il existe alors une chaîne de pions blancs, par exemple la chaîne B3 reliant les 2 colonnes extrêmes de l’hexiquier H n, (Diag. N°9).

       B3=(2,1)-(3,2)-(3,3)-(2,3)-(1,3)-(1,4)-(2,5)-(2,6).


L’hexiquier Hn possède alors 2 chaînes de pions reliant ses 2 colonnes extrêmes, l’une blanche et l’autre noire.


3.3. Supposons encore que cette chaîne soit la chaîne de pions blancs B4


       

B4=(1,1)-(2,2)-(2,3)-(3,4)-(4,4)-(5,5)-(6,6).


Cette chaîne relie les 2 cases (1,1) et (6,6) situées aux extrémités de la petite diagonale principale et n’a pas d’autres contacts avec les 2 rangées extrêmes et les 2 colonnes extrêmes de l’hexiquier H 6, (diag N°10).


Plaçons l’hexiquier H n du diagramme N°10 au centre de l’hexiquier H n+2, (Diag. N°11).


Par hypothèse l’hexiquier Hn+2 possède soit une chaîne de pions reliant les 2 rangées extrêmes et cette chaîne ne peut être qu’une chaîne de pions blancs, soit une chaîne de pions reliant ses 2 colonnes extrêmes et cette chaîne ne peut être qu’une chaîne de pions blancs.


3.3.1. Il existe une chaîne de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes de l’hexiquier H n+2, c’est la chaîne de pions B 5

       B 5=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(3,4)-(4,5)-(5,5)-(6,6)-(7,7)-(8,8).

Il existe alors une chaîne de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes de l’hexiquier  H n, c’est la chaîne B 4.


3.3.2. Il existe une chaîne de pions blancs reliant les 2 colonnes extrêmes de l’hexiquier H n+2, c’est par exemple la chaîne de pions B6.

       B6=(2,1)-(2,2)-(3,3)-(3,4)-(4,5)-(5,5)-(6,6)-(7,7)-(7,8).

Il existe alors une chaîne de pions blancs reliant les 2 colonnes extrêmes de l’hexiquier h n, c’est la chaîne B4.


L’hexiquier H n possède alors 2 chaînes de pions blancs, l’une reliant ses 2 rangées extrêmes, l’autre ses 2 colonnes extrêmes, et ces 2 chaînes de pions blancs sont confondues. En d’autres termes cette chaîne est une chaîne de pions blancs double.


3.4. Supposons enfin que cette chaîne soit la chaîne de pions noirs N4


       N4=(1,1)-(2,2)-(3,2)-(4,2)-(5,3)-(5,4)-(5,5)-(6,6).

Cette chaîne relie les 2 cases (1,1) et (6,6) situées aux 2 extrémités de la petite diagonale principale et n’a pas d’autres contacts avec les 2 rangées extrêmes et les 2 colonnes extrêmes de l’hexiquier H6, (Diag. N°12).


Plaçons l’hexiquier H n du diagramme N°12 au centre de l’hexiquier H n+2 sur lequel on a placé 4 chaînes de pions, 2 de pions blancs b1 et b2 et 2 de pions noirs n1 et n2, (Diag. N°13).

       b1=(2,1)-(3,1)-(4,1)-(5,1)-(6,1)-(7,1)-(8,1).

       b2=(7,8)-(6,8)-(5,8)-(4,8)-(3,8)-(2,8)-(1,8).

       n1=(1,7)-(1,6)-(1,5)-(1,4)-(1,3)-(1,2)-(1,1).

       n2=(8,2)-(8,3)-(8,4)-(8,5)-(8,6)-(8,7)-(8,8).


Par hypothèse l’hexiquier Hn+2 possède soit une chaîne de pions reliant ses 2 rangées extrêmes et cette chaîne ne peut être qu’une chaîne de pions noirs, soit une chaîne de pions  reliant ses 2 colonnes extrêmes et cette chaîne ne peut être qu’une chaîne de pions noirs.


3.4.1. Il existe une chaîne de pions noirs reliant les 2 rangées extrêmes de l’hexiquier H n+2, c’est la chaîne de pions N5

       N5=(1,2)-(2,2)-(3,3)-(4,3)-(5,3)-(6,4)-(6,5)-(6,6)-(7,7)-(8,7).

Il existe alors une chaîne de pions noirs reliant les 2 rangées extrêmes de l’hexiquier H n, c’est la chaîne N4.


3.4.2. Il existe une chaîne de pions noirs reliant les 2 colonnes extrêmes de l’hexiquier H n+2, c’est la chaîne de pions N6.        

       N6=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(4,3)-(5,3)-(6,4)-(6,5)-(6,6)-(7,7)-(8,8).

Il existe alors une chaîne de pions noirs reliant les 2 colonnes extrêmes de l’hexiquier Hn , c’est la chaîne de pions N4.

L’hexiquier Hn possède alors 2 chaînes de pions noirs, l’une reliant ses 2 rangées extrêmes, l’autre ses 2 colonnes extrêmes, et ces 2 chaînes de pions noirs sont confondues. En d’autres termes cette chaîne est une chaîne de pions noirs double.


3.5. Remarque


On aura remarqué que les hexiquiers H n+2 agissent sur l’hexiquier Hn comme un révélateur de chaînes de pions.

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