5.3. Démonstration

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3.1. Supposons que la propriété P0 soit fausse pour l’hexiquier Hn.


Par conséquent pour cet hexiquier, quelle que soit la répartition des pions blancs et des pions noirs, en nombres quelconques, le recouvrant entièrement, il n’existe aucune chaîne de pions blancs reliant ses 2 rangées extrêmes, ni aucune chaîne de pions noirs reliant ses 2 colonnes extrêmes.


Pour pouvoir représenter les positions par des diagrammes nous prendrons n=7. La position du diagramme N°3 représente par conséquent l’hexiquier Hn.


3.2. Démontrons que si la propriété P0 est fausse pour l’hexiquier Hn alors elle est fausse pour l’hexiquier H n-1.


Pour cela plaçons sur l’hexiquier  Hn la chaîne de pions blancs B1 et la chaîne de pions noirs N1, (Diag. N°4).

B1=(1,7)-(1,6)-(1,5)-(1,4)-(1,3)-(1,2).

N1=(2,1)-(3,1)-(4,1)-(5,1)-(6,1)-(7,1).



La case (1,1) peut être occupée par un pion blanc ou par un pion noir. Ces 2 chaînes de pions et le pion placé en (1,1), créent l’hexiquier H n-1 représenté en grisé sur le diagramme N°4 et reproduit sur le diagramme N°5.


Soit maintenant une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques, occupant la totalité de l’hexiquier H n-1 placé à l’intérieur de l’hexiquier  H n.


L’ensemble des positions ainsi obtenues sur H n n’est pas l’ensemble de toutes les positions possibles sur H n, mais en est un sous-ensemble. Bien évidemment l’hypothèse faite au point 1, valable pour l’ensemble des positions de Hn, l’est aussi pour le sous-ensemble de positions ainsi défini. Par conséquent, puisqu’il n’existe pas de chaînes de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes de H n, il n’existe pas de chaînes de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes de H n-1 .


Même raisonnement pour démontrer qu’il n’existe pas sur l’hexiquier H n-1 de chaînes de pions noirs reliant ses 2 colonnes extrêmes.


Nous venons ainsi de démontrer que si la propriété P0 est fausse pour l’hexiquier H n, elle est aussi fausse pour l’hexiquier H n-1.


3.3. Ayant ainsi démontré que la propriété P0 est fausse pour l’hexiquier H n-1 on démontre, grâce à la même démonstration, qu’elle est fausse pour l’hexiquier H n-2. Etant fausse pour l’hexiquier H n-2, elle est fausse pour l’hexiquier H n-3, etc., etc.


On arrive ainsi, grâce à cette descente, à démontrer que la propriété P0 est fausse pour l’hexiquier H3, (Diag. N°6).


Plaçons sur cet hexiquier la chaîne de pions blancs B2 et la chaîne de pions noirs N2, (Diag. N°7).

B2=(1,3)-(1,2).

N2=(2,1)-(3,1).


La case (1,1) peut être occupée par un pion blanc ou par un pion noir. Ces 2 chaînes de pions, et le pion placé en (1,1), créent à l’intérieur de l’hexiquier H3, l’hexiquier H2, représenté en grisé sur le diagramme N°7, et reproduit sur le diagramme N°8.


On démontre, ainsi qu’on l’a fait précédemment, que la propriété P0 étant fausse pour l’hexiquier H 3, elle est aussi fausse pour l’hexiquier H 2.


3.4. Faisons un examen direct de l’hexiquier H2 après qu’on l’a entièrement recouvert par une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques.


Compte tenu de la symétrie de l’hexiquier H2 par rapport à son centre de symétrie on a les répartitions suivantes :


1. Tous les pions sont blancs, (Diag. N°9).

2. Un seul pion est noir. Il est placé en (1,1), (Diag. N°10), ou en (2,1), (Diag. N°11).

3. Deux pions sont noirs. On a 4 répartitions, (Diag. N°12, 13, 14, et 15).

4. Trois pions sont noirs, par conséquent un seul pion est blanc, (Diag. N°16 et 17).

5. Tous les pions sont noirs, (Diag. N°18).


Diag. N°9. Cette répartition de pions comprend 3 chaînes de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes : (1,1)-(2,1), (1,1)-(2,2) et (1,2)-(2,2).

Diag. N°10. Cette répartition de pions comprend la chaîne de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes : (1,2)-(2,2).

Diag. N°11. Cette répartition de pions comprend les 2 chaînes de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes : (1,1)-(2,2) et (1,2)-(2,2).

Diag. N°12. Cette répartition de pions comprend la chaîne de pions noirs reliant les 2 colonnes extrêmes : (1,1)-(1,2).

Diag. N°13. Cette répartition de pions comprend la chaîne de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes :(1,2)-(2,2).

Diag. N°14. Cette répartition de pions comprend la chaîne de pions noirs reliant les 2 colonnes extrêmes :(1,1)-(2,2).

Diag. N°15. Cette répartition de pions comprend la chaîne de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes :(1,1)-(2,2).

Diag. N°16. Cette répartition de pions comprend la chaîne de pions noirs reliant les 2 colonnes extrêmes :(2,1)-(2,2).

Diag. N°17. Cette répartition de pions comprend les 2 chaînes de pions noirs reliant les 2 colonnes extrêmes :(1,1)-(2,2) et (1,2)-(2,2).

Diag. N°18. Cette répartition de pions comprend les 3 chaînes de pions noirs reliant les 2 colonnes extrêmes :(1,1)-(1,2), (1,1)-(2,2) et (2,1)-(2,2).


Ainsi, quelle que soit la répartition des pions blancs et des pions noirs, en nombres quelconques, recouvrant entièrement l’hexiquier H 2, il existe toujours soit une chaîne de pions blancs reliant les 2rangées extrêmes, (Diag. N°9, 10, 11,13 et 15), soit une chaîne de pions noirs reliant les 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°12, 14, 16, 17 et 18).


En d’autres termes la propriété P0 est vraie pour l’hexiquier  H2, ce qui est contraire à l’hypothèse faite au début du raisonnement, (Point 1).


Il résulte, par conséquent, de ce qui précède que l’hexiquier Hn possède la propriété P0.


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