6.1. Introduction

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Soit Hn un hexiquier d’ordre n totalement recouvert d’une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques. Supposons qu’un tel hexiquier possède la propriété PO, à savoir : il existe toujours une chaîne de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes ou une chaîne de pions noirs reliant les 2 colonnes extrêmes.


Pour faire cette hypothèse il a été nécessaire de définir sur le contour de l’hexiquier Hn 4 zones opposées deux à deux, à savoir les 2 rangées extrêmes et les 2 colonnes extrêmes. Pour pouvoir différencier les rangées extrêmes et les colonnes extrêmes nous proposons de placer les lettres b1 sur les cases ébauchées au dessus de la rangée supérieure et  les lettres b2 au dessous de la rangée inférieure ; de même nous proposons de placer les lettres n1 sur les cases ébauchées à gauche de la colonne de gauche et les lettres n2 à droite de la colonne de droite.

On observe que 6 cases ébauchées sont marquées par une croix car elles peuvent recevoir soit la lettre b soit la lettre n. Supposons en effet  qu’un pion blanc soit placé sur la case (1,1) ; il est relié à une lettre b1 quelle que soit la lettre que l’on aurait placée à la place de la croix. De même supposons qu’un pion noir soit placé sur la case (1,1) ; il est relié à une lettre n1 quelle que soit la lettre que l’on aurait placée à la place de la croix.


Nous proposons d’appeler zone B1 l’ensemble des cases marquées b1, zone B2 l’ensemble des cases marquées b2, zone N1 l’ensemble des cases marquées n1 et zone N2 l’ensemble des cases marquées n2.


Il est maintenant possible de dire :

Propriété P0. Il existe toujours une chaîne de pions blancs reliant les 2 zones extrêmes B1 et B2, ou une chaîne de pions noirs reliant les 2 zones extrêmes N1 et N2, (Diag. N°1).

Remarquons enfin qu’il est possible de remplacer les lettres b1 et b2 des zones B1 et B2 par des pions blancs et les lettres n1 et n2 des zones N1 et N2 par des pions noirs de telle sorte qu’il est possible de dire :


Propriété PO. Il existe toujours une chaîne de pions blancs reliant les pions blancs des 2 zones extrêmes B1 et B2 ou une chaîne de pions noirs reliant les pions noirs des 2 zones extrêmes N1 et N2, (Diag. N°2).


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