6.2. Le choix des zones opposées est arbitraire

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Soit un hexiquier H6. Supposons que les 4 zones opposées deux à deux  soient les zones B1,  B2, N1 et N2 représentées sur le diagramme N °3. Pour pouvoir donner des coordonnées aux cases constituant ces zones, plaçons cet hexiquier H6 au milieu d’un hexiquier H8 comme représenté sur le diagramme N°4).                                                                                

B1 :(1,5), (1,4), (1,3), (1,2),  (1,1), (2,1), (3,1), (4,1).

B:(4,8), (5,8), (6,8), (7,8), (8,8), (8,7), (8,6).

N1 :(5,1), (6,1), (7,1), (8,2), (8,3), (8,4), (8,5).

N:(1,6), (1,7), (2,8), (3,8).


Pour simplifier nous avons remplacé les croix marquées sur une case par des pions de la même couleur que celle de la zone dans laquelle ils sont placés.


Plaçons sur l’hexiquier les 2 chaînes de pions blancs B1 et B2 et les 2 chaînes de pions noirs N1 et N2, (Diag. N°4).Aucune de ces chaînes ne doit relier 2 côtés opposés.

       B1=(1,5)-(1,4)-(1,3)-(1,2)-(1,1)-(2,1)-(3,1)-(4,1).

       B2=(4,8)-(5,8)-(6,8)-(7,8)-(8,8)-(8,7)-(8,6).

       N1=(5,1)-(6,1)-(7,1)-(8,2)-(8,3)-(8,4)-(8,5).

       N2=(1,6)-(1,7)-(2,8)-(3,8).


On a ainsi créé à l’intérieur de l’hexiquier H8 un hexiquier H6, représenté en grisé. Cet hexiquier H6 est en réalité l’hexiquier H6 représenté par le diagramme N°3 et possédant les 4 zones B1, B2, N1 et N2.


Par hypothèse l’hexiquier H possède la propriété P0.

Par conséquent il existe :

-soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 rangées extrêmes, par exemple la chaîne de pions B’1, (Diag. N°5)

B’1=(1,1)-(2,1)-(3,2)-(3,3)-(3,4)-(4,5)-(5,6)-(6,6)-(6,5)-(7,5)-(8,6).

Par conséquent il existe une chaîne de pions blancs reliant les 2 zones B1 et B2 de l’hexiquier H 6, la chaîne B’’:

B’’1=(2,1)-(2,2)-(2,3)-(3,4)-(4,5)-(5,5)-(5,4)-(6,4).

-soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 colonnes extrêmes, par exemple la chaîne de pions N1, (Diag. N°6)

N’1=(7,1)-(8,2)-(8,3)-(8,4)-(7,4)-(6,4)-(5,4)-(4,3)-(3,3)-(3,4)-(3,5)-(3,6)-(2,6)-(1,6)-(1,7)-(2,8).

Par conséquent il existe une chaîne de pions noirs reliant les 2 zones N1 et N2 de l’hexiquier H6, la chaîne N’’:

N’’1=(6,3)-(5,3)-(4,3)-(3,2)-(2,2)-(2,3)-(2,4)-(2,5)-(1,5).


On a ainsi démontré que si l’hexiquier Hn possède la propriété P0, alors l’hexiquier H6, pour lequel on a défini de façon arbitraire 4 zones B1, B2, N1 et N2, possède aussi la propriété P0.


On démontre aisément que cet hexiquier H6 possède aussi les propriétés PI, PII, PIII et PIV.



Donnons un exemple. Soit un hexiquier H6, pour lequel on a défini les 4 zones B1, B2, N1 et N2, totalement couvert d’une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques. C’est par exemple le cas pour les 20 pions blancs et les 16 pions noirs placés sur l’hexiquier H6 du diagramme N°7.

Cet hexiquier possède bien la propriété P0 grâce à la chaîne de pions blancs B :

B=(1,5)-(2,5)-(3,6).


qui relie les 2 zones opposées B1 et B2.


Remarquons qu’il possède aussi la propriété PI grâce à cette chaîne de pions blancs et à la chaîne de pions noirs N :

N=(1,3)-(2,4)-(3,4)-(3,3)-(4,3)-(5,4)-(6,5).

qui relie aussi les 2 zones opposées B1 et B2.

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