6.3. Autres exemples

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6.3.1. Premier exemple


Dans cet exemple 2 zones opposées sont réduites à une case chacune. Plaçons sur un hexiquier H8 les 2 chaînes de pions blancs B1 et B2 et les 2 chaînes de pions noirs N1 et      N2, (Diag. N°8).

B1=(1,6)-(1,5)-(1,4)-(1,3)-(1,2)-(1,1)-(2,1)-(3,1)-(4,1)-(5,1)-(6,1)-(7,1).

B2=(8,3)-(8,4)-(8,5)-(8,6)-(8,7)-(8,8)-(7,8)-(6,8)-(5,8)-(4,8)-(3,8)-(2,8).

N1=(1,8)-(1,7).

N2=(8,1)-(8,2).

On a ainsi défini, à l’intérieur de l’hexiquierH8 un hexiquier H6 muni des 4 zones B1, B2, N1 et N2, (Diag. N°8 et Diag. N°9).


Par hypothèse l’hexiquier H8 du diagramme N°8 possède la propriétéP0.

Par conséquent il existe

-soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 rangées extrêmes, par exemple la chaîne de pions B’1, (Diag. N°10).

B’1=(1,1)-(2,1)-(3,1)-(4,2)-(5,3)-(5,4)-(5,5)-(4,5)-(4,6)-(5,7)-(6,8)-(7,8)-(8,8) ;


Par conséquent il existe une chaîne de pions blancs reliant les 2 zones B1 et B2 de l’hexiquier H6, la chaîne B’’:

B’’1=(3,1)-(4,2)-(4,3)-(4,4)-(3,4)-(3,5)-(4,6).

-soit une chaîne de pions noirs reliant les 2 colonnes extrêmes, par exemple la chaîne de pions noirs N’1, (Diag. N°11).

N’1=(8,1)-(8,2)-(7,2)-(6,2)-(6,3)-(6,4)-(5,4)-(4,4)-(3,4)-(3,5)-(3,6)-(2,6)-(2,7)-(1,7)-(1,8).


Par conséquent il existe une chaîne de pions noirs reliant les 2 zones N1 et N2 de l’hexiquier H6, la chaîne N’’:

N’’1=(6,1)-(5,1)-(5,2)-(5,3)-(4,3)-(3,3)-(2,3)-(2,4)-(2,5)-(1,5)-(1,6).


On a ainsi démontré que, si l’ hexiquier Hn possède la propriété P0, alors l’hexiquier  H6 , pour lequel on a défini de façon arbitraire 4 zones B1, B2 ,N1 et N2, possède aussi la propriété P0.


On démontre aisément  que cet hexiquier H6 possède aussi les propriétés PI, PII, PIII et PIV.


Donnons un exemple. Pour cela recouvrons totalement l’hexiquier H6, représenté par le diagramme N°9, par une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques.

C’est par exemple le cas pour les 20 pions blancs et les 16 pions noirs placés sur l’hexiquier H6 du diagramme N°12.


Cet hexiquier possède bien la propriété P0 grâce à la chaîne de pions blancs B :

B=(1,5)-(2,6).

qui relie les 2 zones opposées B1 et B2.


Remarquons qu’il possède aussi la propriété PI grâce à cette chaîne de pions blancs et à la chaîne de pions noirs N :

N=(1,6).

qui relie aussi les 2 zones opposées B1 et B2.


6.3.2. Second exemple


Dans cet exemple une zone de H6 s’étend sur 3 côtés et les 3 autres zones ne possèdent qu’une case chacune. Pour l’analyser il est nécessaire d’utiliser un hexiquier d’ordre 9.

Plaçons sur cet hexiquier H9 les 2 chaînes de pions blancs B1 et B2 et les 2 chaînes de pions noirs N1 et N2, (Diag. N°13).

B1=(8,5)-(9,6).

B2=(8,7)-(8,8)-(7,8)-(6,8)-(5,8)-(4,8)-(3,8)-(2,8)-(1,7)-(1,6)-(1,5)-(1,4,)-(1,3)-(1,2)-(1,1)-(2,1)-(3,1)-(4,1)-(5,1)-(6,1)-(7,1)-(8,2)-(8,3,).

N1=(8,4)-(9,4)-(9,3)-(9,2)-(9,1).

N2=(8,6)-(9,7)-(9,8)-(9,9).


Remarquons qu’il est possible de placer des pions de couleur blanche ou de couleur noire sur les cases de l’hexiquier H9 n’appartenant pas à l’ hexiquier H6 créé au centre de l’hexiquier H9. En effet il est possible de créer une chaîne de pions blancs reliant les 2 colonnes extrêmes, mais pas les 2 rangées extrêmes, ou une chaîne de pions noirs reliant les 2 rangées extrêmes, mais pas les 2 colonnes extrêmes, car ces 2 chaînes n’interviennent pas dans la définition de la propriété P0.


On a ainsi défini, à l’intérieur de l’hexiquier H9, un hexiquier H6 muni des 4 zones B1, B2, N1 et N2, (Diag. N°14 et Diag. N°15).

Par hypothèse l’hexiquier H du diagramme N°13 possède la propriété P;

Par conséquent il existe:

-soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 rangées extrêmes, par exemple la chaîne de pions B’:

B’1=(9,6)-(8,5)-(7,5)-(6,5)-(6,6)-(7,7)-(7,8)-(6,8)-(5,8)-(4,8)-(3,8)-(2,8)-(1,7).


Par conséquent il existe une chaîne de pions blancs reliant les 2 zones B1 et B2 de l’hexiquier H6, la chaîne B’’1, (Diag. N°14) :

B’’1=(6,4)-(5,4)-(5,5)-(6 6).

-soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 colonnes extrêmes, par exemple la chaîne de pions N’:

N’1=(9,1)-(9,2)-(9,3)-(9,4)-(8,4)-(7,3)-(6,3)-(6,4)-(6,5)-(7,6)-(8,6)-(9,7)-(9,8)-(9,9).


Par conséquent il existe une chaîne de pions noirs reliant les 2 zones N1 et N2 de l’hexiquier H6, la chaîne N’’1, (Diag. N°15) :

N’’1=(6,2)-(5,2)-(5,3)-(5,4)-(6,5).

On a ainsi démontré que, si l’hexiquier Hn possède la propriété P0, alors l’hexiquier H6 pour lequel on a défini de façon arbitraire 4 zones B1, B2, N1et N2 possède aussi la propriété P0.


On démontre aisément que cet hexiquier H6 possède aussi les propriétés PI, PII, PIII et PIV.


Donnons un exemple.


Pour cela recouvrons totalement l’hexiquier H6, représenté par le diagramme N°16, par une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques. C’est par exemple le cas pour les 20 pions blancs et les 16 pions noirs placés sur l’hexiquier H6 du diagramme N°16).


Cet hexiquier possède une chaîne de pions blancs reliant les zones B1 et B2, la chaîne  B :

B=(3,1)-(4,2)-(5,3)-(6,4),


et une chaîne de pions noirs reliant les zones B1 et B2, la chaîne N :

N=(4,1)-(5,2)-(6,3).


Par conséquent l’hexiquier H6 caractérisé par les zones B1, B2, N1et N2 possède la propriété PI.



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