7.1. Hexiquiers ayant la forme d’un parallélogramme

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Désignons par

                                                          Pp, q

un hexiquier ayant la forme d’un parallélogramme de p rangées et de q colonnes. Le diagramme N°1 représente l’hexiquier P4, 6 .

Soit un hexiquier H8 sur lequel on a placé les 2 chaînes de pions blancs b1 et b2 et les 2 chaînes de pions noirs n1 et n2, (Diag. N°2).

b1=(1,1)-(2,1)-(3,1)-(4,1)-(5,1)-(6,1).

b2=(8,8)-(7,8)-(6;8)-(5,8)-(4,8)-(3,8).

n1=(2,2)-(2,3)-(2,4)-(2,5)-(2,6)-(2,7)-(2,8)-(1,8).

n2=(7,7)-(7,6)-(7,5)-(7,4)-(7,3)-(7,2)-(7,1)-(8,1).


On observe que l’on a ainsi créé l’hexiquier P4, 6 au centre de l’hexiquier H8.


Soit une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques, recouvrant la totalité de l’hexiquier P4, 6.


Démontrons que l’hexiquierP4, 6 possède les propriétés PI et PIV.


Par hypothèse l’hexiquier H8 possède la propriété P0. Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 rangées extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier P4, 6 possède une chaîne de pions blancs reliant ses 2 colonnes extrêmes, soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 colonnes extrêmes, et dans ce cas, l’ hexiquier P4, 6 possède une chaîne de pions noirs reliant ses 2 rangées extrêmes.


Supposons que l’hexiquier P4, 6 possède la chaîne de pions noirs N1, (Diag. N°3)

N1=(1,2)-(2,3)-(2,4)-(3,5)-(4,5).


Soit maintenant un autre hexiquierH8 sur lequel on a placé les 2 chaines de pions blancs b1 et b2 et les 2 chaînes de pions noirs n1 et n2, (Diag. N° 4).

b1=(2,2)-(2,3)-(2,4)-(2,5)-(2,6)-(2,7)-(2,8)-(1,8).

b2=(7,7)-(7,6)-(7,5)-(7,4)-(7,3)-(7,2)-(7,1)-(8,1).

n1=(1,1)-(2,1)-(3,1)-(4,1)-(5,1)-(6,1).

n2=(8,8)-(7,8)-(6,8)-(5,8)-(4,8)-(3,8).


On observe que l’on a ainsi créé l’hexiquier P4, 6 au centre de cet hexiquier H8.


Plaçons l’hexiquier P4, 6 du diagramme N°3, entièrement recouvert de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques, mais possédant la chaîne de pions noirs N1  à l’intérieur de cet hexiquier H8, (Diag. N°4).


Par hypothèse ce second hexiquier H8 possède la propriété P0. Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 rangées extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier P4, 6 possède une chaîne de pions blancs B reliant ses 2 rangées extrêmes (Diag. N°5), soit une chaîne de pions noirs reliant ses colonnes extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier P4, 6 possède une chaîne de pions noirs N2 reliant ses 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°6).



B= (1,1)-(2,2)-(3,2)-(3,1)-(4,1).

N2= (3,1)-(3,2)-(3,3)-(2,3)-(2,4)-(3,5)-(3,6).


On notera que dans le premier cas l’hexiquier P4, 6 possède la propriété PI grâce à la chaîne de pions blancs B et à la chaîne de pions noirs N1, (Diag. N°5), et que dans le second cas il possède la propriété PIV grâce aux 2 chaînes de pions noirs N1 et N2, (Diag. N°6).


On remarquera que l’on a démontré que l’hexiquier P4, 6 possède les propriétés PI et PIV en utilisant uniquement la propriété P0 de H8.



Supposons maintenant que l’hexiquier H8 du diagramme N°2 possède une chaîne de pions blancs reliant ses 2 rangées extrêmes et que, par conséquent, l’hexiquier P4, 6 possède, par exemple, la chaîne de pions blancs B1 reliant ses 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°7).


B1 =(2,1)-(2,2)-(3,3)-(3,4)-(3,5)-(2,5)-(2,6).


Plaçons cet hexiquier P4, 6 à l’intérieur du second hexiquier H8 du diagramme N°4.



Par hypothèse ce second hexiquier H8 possède la propriété P0.

Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 rangées extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier P4, 6 possède une chaîne de pions blancs B2 reliant ses 2 rangées extrêmes, (Diag. N°8), soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 colonnes extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier P4, 6 possède une chaîne de pions noirs N reliant ses 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°9).



B2=(1,2)-(2,2)-(3,3)-(3,4)-(4,5).

N=(1,1)-(1,2)-(2,3)-(2,4)-(1,4)-(1,5)-(1,6).


On notera que dans le premier cas l’hexiquier P4, 6 possède la propriété PIII grâce aux 2 chaînes de pions blancs B1 et B2, (Diag. N°8), et que dans le second cas il possède la propriété PII grâce à la chaîne de pions blancs B et à la chaîne de pions noirs N (Diag. N°9).


On remarquera ici encore que l’on a démontré que l’hexiquier P4, 6 possède les propriétés PII et PIII en utilisant uniquement la propriété P0 de H8.


Remarquons enfin qu’il est possible que l’hexiquier P4, 6 possède les propriétés PIII* et PIV* grâce à une chaîne de pions de la même couleur qui relie les 2 cases situées dans les angles obtus du parallélogramme, à savoir les 2 cases (1,1) et (4,6), cases ombrées en foncé sur les diagrammes N°10 et N°11.


En effet si l’hexiquier H8 du diagramme N°2 possède une chaîne de pions noirs reliant ses 2 colonnes extrêmes grâce à une chaîne de pions noirs dont la partie intérieure à l’hexiquier P4, 6 n’a aucun autre contact avec les 2 rangées extrêmes et les 2 colonnes extrêmes que les 2 cases (1,1) et (4,6), alors cette chaîne de pions noirs N doit être comptée 2 fois car elle relie ses 2 rangées extrêmes et ses 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°10)


N=(1,1)-(2,2)-(2,3)-(2,4)-(3,5)-(4,6).

Il en est de même pour l’hexiquier H8 du diagramme N°4 si une chaîne de pions blancs reliant ses 2 rangées extrêmes grâce à une chaîne de pions blancs B, située à l’intérieur de l’hexiquier P4, 6 ,n’a aucun autre contact avec ses 2 rangées extrêmes et ses 2 colonnes extrêmes que les 2 cases (1,1) et (4,6), (Diag. N°11)

B=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(3,4)-(3,5)-(4,6).


On vient ainsi de démontrer que l’hexiquier P4, 6 possède les propriétés PI, PII, PIII, PIII*, PIV et PIV* grâce à l’utilisation de la seule propriété P0 de l’hexiquier H8. Faisons ici 2 remarques.


1. Il résulte de ce qui précède que l’hexiquier P4, 6 possède les propriétés P0 et P0*.


2. On aurait pu obtenir les mêmes résultats en utilisant  uniquement la propriété P0 * de l’hexiquier H8.


Démontrons maintenant qu’il est possible d’obtenir les mêmes résultats en utilisant les propriétés P0 et P0* de l’hexiquier H6.

Soit un hexiquier H6 sur lequel on a placé la chaîne de pions blancs b et la chaîne de pions noirs n, (Diag. N°12).

b=(6,2)-(5,2)-(5,3)-(5,4)-(5,5)-(5,6).

n=(5,1)-(6,1).


On observe que l’on a ainsi créé l’hexiquier P4, 6 à l’intérieur de l’hexiquier H6.


Soit une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques, recouvrant la totalité de l’hexiquier P4, 6.

Démontrons que l’hexiquier P4, 6 possède les propriétés PI, PII, PIII, PIII*, PIV et PIV*.

Par hypothèse l’hexiquier H6 possède la propriété P0. Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 rangées extrêmes, par exemple grâce à la chaîne de pions blancs B1 située à l’intérieur de l’hexiquier P4, 6 , (Diag. N°13), soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 colonnes extrêmes, par exemple grâce à la chaîne de pions noirs N1 située à l’intérieur de l’hexiquier P4, 6, (Diag. N°14).


B1 = (1, 2)-(2,3)-(3,4)-(4,4).

N1= (2,1)-(2,2)-(2,3)-(1,3)-(1,4)-(2,5)-(2,6).


Soit maintenant un autre hexiquier H6 sur lequel on a placé la chaîne de pions blancs b et la chaîne de pions noirs n, (Diag. N°15).


b= (5,1)-(6,1).

n=(6,2)-(5,2)-(5,3)-(5,4)-(5,5)-(5,6).


On observe que l’on a créé l’hexiquier P4, 6 à l’intérieur de l’hexiquier H6.

Plaçons l’hexiquier P4 ,6  du diagramme N°13 à la place de l’hexiquier  P4,6  du diagramme N°15.


Par hypothèse le second hexiquier H6 possède la propriété P0*. Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 colonnes extrêmes, et, dans ce cas l’hexiquier P4, 6 possède une chaîne de pions blancs B2 reliant ses 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°16).

B2=(3,1)-(3,2)-(2,2)-(2,3)-(3,4)-(3,5)-(2,5)-(2,6).

soit une chaîne de pions noirs N2 reliant ses 2 rangées extrêmes, (Diag N°17)

N2=(1,5)-(2,5)-(3,5)-(4,6).



On notera que dans le premier cas l’hexiquier P4, 6 possède la propriété PIII grâce aux 2 chaînes de pions B1 et B2, (Diag. N°16), et que dans le second cas il possède la propriété PI grâce à la chaîne de pions blancs B1 et à la chaîne de pions noirs N2, (Diag. N°17).


Plaçons maintenant l’hexiquier P4, 6 du diagramme N°14 à la place de l’hexiquier P4, 6 du diagramme N°15).


Par hypothèse le second hexiquier H6 possède la propriété P0*. Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 colonnes extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier P4, 6 possède une chaîne de pions blancs B3 reliant ses 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°18)

B3=(3,1)-(4,2)-(4,3)-(3,3)-(3,4)-(3,5)-(3,6).

soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 rangées extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier P4, 6 possède une chaîne de pions noirs N3 reliant ses 2 rangées extrêmes, (Diag. N°19).

N3=(1,3)-(2,3)-(2,2)-(3,2)-(4,3).


On notera que dans le premier cas l’hexiquier P4, 6 possède la propriété PII grâce à la chaîne de pions blancs B3 et à la chaîne de pions noirs N1, (Diag. N°18), et que dans le second cas il possède la propriété PIV grâce aux 2 chaînes de pions noirs N1 et N3, (Diag. N°19).



Remarquons enfin que la chaîne de pions noirs N1 du diagramme N°14 peut être remplacée par la chaîne de pions noirs N4 du diagramme N°20,

N4=(1,1)-(2,2)-(2,3)-(2,4)-(3,5)-(4,6)

et, dans ce cas, l’hexiquier P4, 6 possède la propriété PIV*, et que la chaîne B2 du diagramme N°16 peut être remplacée par la chaîne de pions blancs B4 du diagramme N°21,

B4 =(1,1)-(2,2)-(3,3)-(3,4)-(3,5)-(4,6)

et, dans ce cas, l’hexiquier P4, 6 possède la propriété PIII*.



On vient ainsi de démontrer que l’hexiquier P4, 6 possède les propriétés PI, PII, PIII ,PIII*, PIV et PIV*grâce à l’utilisation des propriétés P0 et P0* de l’hexiquier H6.Il en résulte que l’hexiquier P4,6  possède aussi les propriétés P0 et P0*.


D’une façon générale pour démontrer que l’hexiquier

                                                Pp, q

possède les propriétés PI, PII, PIII,  PIII*, PIV et PIV*, et par conséquent les propriétés P0 et P0* on peut utiliser l’hexiquier

                                                H n

tel que                               n= p   , si p strictement supérieur à q

ou                                     n=q    , si q strictement supérieur à p

en supposant que cet hexiquier Hn possède les propriétés P0 et P0*.


Ce résultat sera utilisé plus loin dans cette étude.


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