7.2. Hexiquiers ayant la forme d’un trapèze isocèle

Parent Previous Next


Désignons par

                                                 T p, q  


un hexiquier ayant la forme d’un trapèze isocèle de p rangées et de q colonnes. Le diagramme N°1 représente l’hexiquier T 4, 6.


Soit un hexiquier H8 sur lequel on a placé les 2 chaînes de pions blancs b1 et b2 et les 2 chaînes de pions noirs n1 et n2, (Diag. N°2).


b1  =(1,1)-(2,1)-(3,1)-(4,1)-(5,1)-(6,1).

b =(8,8)-(7,8)-(6,8)-(5,7)-(4,6)-(3,5).

n1 =(2,2)-(2,3)-(2,4)-(2,5)-(2,6)-(2,7)-(2,8).

n2 =(7,7)-(7,6)-(7,5)-(7,4)-(7,3)-(7,2)-(7,1).


On observe que l’on a ainsi créé l’hexiquier T4, 6 au centre de l’hexiquier H8.


Soit une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques, recouvrant la totalité de l’hexiquier T4, 6.


Par hypothèse l’hexiquier H8 possède la propriété P0. On démontre, en utilisant le même raisonnement que celui que l’on a utilisé au paragraphe précédent pour l’hexiquier Pp, q, que l’hexiquier T p, q possède les propriétés PI, PII, PIII et PIV et par conséquent les propriétés P0 et P0*.



Soit un hexiquier H6 sur lequel on a placé la chaîne de pions blancs b et les 2 chaînes de pions noirs n1 et n2, (Diag. N°3).

b=(6,2)-(5,2)-(5,3)-(5,4)-(5,5)-(5,6).

n1=(1,4)-(2,5)-(3,6).

n2=(5,1)-(6,1).



On observe que l’on a ainsi créé l’hexiquier T4, 6 à l’intérieur de l’hexiquier H.


Soit une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques, recouvrant la totalité de l’hexiquier T4, 6.


Démontrons que l’hexiquier T4, 6  possède les propriétés PI, PII, PIII et PIV.


Par hypothèse l’hexiquier H6 possède la propriété P0. Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 rangées extrêmes, par exemple grâce à la chaîne de pions blancs B1 située à l’intérieur de l’hexiquier T4, 6 ,(Diag. N°4), soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 colonnes extrêmes, par exemple grâce à la chaîne de pions noirs N1 située à l’intérieur de l’hexiquier T4, 6, (Diag. N°5).



B1=(1,2)-(2,3)-(3,3)-(3,2)-(4,2).

N1=(3,1)-(3,2)-(4,3)-(4,4)-(3,4)-(2,4).



Soit maintenant un autre hexiquier H6 sur lequel on a placé les 2 chaînes de pions blancs b1 et b2 et la chaîne de pions noirs n, (Diag. N°6).


b1 =(1,4)-(2,5)-(3,6).

b2=(5,1)-(6,1).

n=(6,2)-(5,2)-(5,3)-(5,4)-(5,5)-(5,6).


On observe que l’on a créé l’hexiquier T4, 6 à l’intérieur de l’hexiquier H6.


Plaçons l’hexiquier T4, 6 du diagramme N°4 à la place de l’hexiquier T4, 6 du diagramme N°6.


Par hypothèse le second hexiquier H6 possède la propriété P0*. Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 colonnes extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier T4, 6 possède une chaîne de pions blancs B2 reliant ses 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°7), soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 rangées extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier T4, 6 possède une chaîne de pions noirs N2 reliant ses 2 rangées extrêmes,(Diag. N°8).



B2=(2,1)-(3,2)-(3,3)-(4,4)-(4,5)-(3,5).

N2=(1,3)-(2,4)-(3,5)-(4,5).


On notera que dans le premier cas l’hexiquier T4, 6 possède la propriété PIII grâce aux 2 chaînes de pions blancs B1 et B2, ( Diag. N°7), et que dans le second cas il possède la propriété PI grâce à la chaîne de pions blancs B1 et à la chaîne de pions noirs N2, (Diag. N°8).


Plaçons maintenant l’hexiquier T4, 6 du diagramme N°5 à la place de l’hexiquier T4, 6 du diagramme N°6.


Par hypothèse le second hexiquier H6 possède la propriété P0*. Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 colonnes extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier T4, 6 possède une chaîne de pions blancs B3 reliant ses 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°9), soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 rangées extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier T4, 6 possède une chaîne de pions noirs N3 reliant ses 2 rangées extrêmes, (Diag. N°10).

B3=(2,1)-(2,2)-(1,2)-(1,3).

N3=(1,2)-(2,2)-(3,2)-(4,3).


On notera que dans le premier cas l’hexiquier T4, 6 possède la propriété PII grâce à la chaîne de pions blancs B3 et à la chaîne de pions noirs N1, (Diag. N°9), et que dans le second cas il possède la propriété PIV grâce aux 2 chaînes de pions noirs N1 et N3, (Diag. N°10).


Remarquons que l’hexiquier T4, 6 ne peut pas posséder les propriétés PIII* et PIV* car les 2 cases (4,1) et (4,6), placées dans les angles aigus du trapèze isocèle ne peuvent pas avoir des cases voisines non adjacentes à une rangée ou à une colonne extrême, (Diag. N°11).


D’une façon générale pour démontrer que l’hexiquier

                                       T p, q

possède les propriétés PI, PII, PIII et PIV, et, par conséquent, les propriétés P0 etP0*, on peut utiliser l’hexiquier

                                        H q

en supposant que cet hexiquier H q possède les propriétés P0 et P0*.


Remarquons enfin que l’on a démontré que si l’hexiquier Hn possède les propriétés P0 et P0* alors l’hexiquier Pp, q possède aussi les propriétés P0 et P0*. Il est par conséquent possible de démontrer que si l’hexiquier Pp, q possède les propriétés P et P0*alors l’hexiquier T p, q possède aussi les propriétés P0 et P0*.


Soit en effet un hexiquier Pp, q  sur lequel on a placé la chaîne de pions noirs n, (Diag. N°12)

n=(1,4)-(2,5)-(3,6).

On observe que l’on a créé l’hexiquier T4 , 6 dans la partie gauche  de l’hexiquier P4, 6.


Par hypothèse l’hexiquier P4, 6 possède la propriété P0. Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 rangées extrêmes, par exemple grâce à la chaîne de pions blancs B1 située à l’intérieur de l’hexiquier T4,6, (Diag. N°13), soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 colonnes extrêmes, par exemple grâce à la chaîne de pions noirs N1 située à l’intérieur de l’hexiquier T4,6, (Diag. N°14).



Soit maintenant un autre hexiquier P4, 6 sur lequel on a placé la chaîne de pions blancs b, (Diag. N°15)

b=(1,4)-(2,5)-(3,6).


Plaçons l’hexiquier T4,6  du diagramme N°13 à la place de l’hexiquier T4, 6 du diagramme N°15.              



Par hypothèse ce second hexiquier P4, 6 possède la propriété P0*.Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 colonnes extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier T4, 6 possède une chaîne de pions blancs B2 reliant ses 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°16), soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 rangées extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier T4, 6 possède une chaîne de pions noirs reliant ses 2 rangées extrêmes, (Diag. N°17).



On notera que dans le premier cas l’hexiquier T4, 6 possède la propriété PIII grâce aux 2 chaînes de pions blancs B1 et B2, (Diag. N°16), et que dans le second cas il possède la propriété PI grâce à la chaîne de pions blancs B1 et à la chaîne de pions noirs N2, (Diag. N°17).


Plaçons maintenant l’hexiquier T4, 6 du diagramme N°14 à la place de l’hexiquier T4, 6 du diagramme N°15.

Par hypothèse le second hexiquier P4, 6 possède la propriété P0*. Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 colonnes extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier T4, 6 possède une chaîne de pions blancs B3 reliant ses 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°18), soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 rangées extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquierT4, 6 possède une chaîne de pions noirs N3 reliant ses 2 rangées extrêmes, (Diag. N°19).



On notera que dans le premier cas l’hexiquier T4, 6  possède la propriété PII grâce à la chaîne de pions blancs B3 et à la chaîne de pions noirs N1, (Diag. N°18) et que dans le second cas il possède la propriété PIII grâce aux 2 chaînes de pions noirs N1 et N3, (Diag. N°19).


Créé avec HelpNDoc Personal Edition: Générateur de documentations PDF gratuit