7.3. hexiquier ayant la forme d’un rectangle

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Désignons par

                             R p, q  

un hexiquier ayant la forme d’un rectangle de p rangées et de q colonnes, toutes les rangées ayant le même nombre de cases. Le diagramme N°1 représente l’hexiquier R4, 7.


Soit un hexiquier P4, 7 sur lequel on a placé les 2 chaînes de pions noirs n1 et n2, (Diag. N°2).

n1= (3,1)-(4,1).

n2= (1,7)-(2,7).



On observe que l’on a ainsi créé l’hexiquier R4, 7 à l’intérieur de l’hexiquier P4, 7.


Soit une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques, recouvrant la totalité de l’hexiquier R4, 7.


Par hypothèse l’hexiquier P4, 7 possède la propriété P0. [On rappelle que l’on a démontré que si l’on fait l’hypothèse que l’hexiquier H7 possède les propriétés P0 et P0* alors l’hexiquier P4, 7 possède aussi les propriétés P0 et P0*]. Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 rangées extrêmes, par exemple grâce à la chaîne de pions blancs B1 située à l’intérieur de l’hexiquier R4, 7 , (Diag. N°3), soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 colonnes extrêmes, par exemple grâce à la chaîne de pions noirs N1 située à l’intérieur de l’hexiquier R4, 7, (Diag. N°4).

B1=(1,2)-(2,3)-(2,4)-(2,5)-(3,6)-(4,6).

N1=(1,1)-(2,2)-(2,3)-(2,4)-(1,4)-(1,5)-(2,6).



Soit maintenant un autre hexiquier P4, 7 sur lequel on a placé les 2 chaînes b1 et b2, (Diag. N°5).

b1=(3,1)-(4,1).

b2=(1,7)-(2,7).

Plaçons l’hexiquier R4, 7 du diagramme N°3 à la place de l’hexiquier R4, 7 du diagramme N°5.


Par hypothèse l’hexiquier P4, 7 possède la propriété P0*. Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 colonnes extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier R4, 7 possède une chaîne de pions blancs B2 reliant ses 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°6), soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 rangées extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier R4, 7  possède une chaîne de pions noirs reliant ses 2 rangées extrêmes, (Diag. N°7).



On notera que dans le premier cas l’hexiquier R4, 7 possède la propriété PIII grâce aux 2 chaînes de pions blancs B1 et B2, (Diag . N°6), et que dans le second cas il possède la propriété PI grâce à la chaîne de pions blancs B1 et à la chaîne de pions noirsN2, (Diag. N°7).


Plaçons maintenant l’hexiquier R4, 7 du diagramme N°4 à la place de l’hexiquier R4, 7 du diagramme N°5.

Par hypothèse le second hexiquier P4, 7 possède la propriété P0*. Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 colonnes extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier R4, 7 possède une chaîne de pions blancs B3 reliant ses 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°8), soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 rangées extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier R4, 7 possède une chaîne de pions noirs N3 reliant ses 2 rangées extrêmes, (Diag. N°9).



On notera que dans le premier cas l’hexiquier R4, 7 possède la propriété PII grâce à la chaîne de pions blancs B3 et à la chaîne de pions noirs N1, (Diag. N°8), et que dans le second cas il possède la propriété PIV grâce aux 2 chaînes de pions noirs N1 et N3, (Diag. N°9).


Remarquons que l’hexiquier R4, 7 peut posséder les propriétés PIII* et PIV*. C’est par exemple le cas pour la position du diagramme N°10 grâce à la double chaîne de pions noirs N,

N=(1,1)-(2,2)-(3,3)-(3,4)-(2,4)-(2,5)-(3,6)-(4,7).

qui relie les 2 cases (1,1) et (4,7), cases situées dans les 2 angles obtus du rectangle et adjacentes à des rangées et des colonnes différentes.


En revanche ce n’est pas le cas pour l’hexiquier R5, 8 représenté sur le diagramme N°11, car les 2 cases (1,1) et (5,3), situées dans les 2 angles obtus du rectangle, sont adjacentes à la même « colonne » de gauche constituée par les cases (1,1), (2,1), (3,2), (4,2) et (5,3).


D’une façon générale pour démontrer que l’hexiquier

                                                       R p, q

possède les propriétés PI, PII, PIII et PIV, et, par conséquent, les propriétés P0 et P0*, on peut utiliser l’hexiquier

                                                         Pp, q+r

en supposant que cet hexiquier possède les propriétés P0 et P0*, ou si l’on préfère, en supposant que l’hexiquier

                                                          H q+r

possède les propriétés P0 et P0*.


De plus l’hexiquier

                                                            R p, q

possède les propriétés PIII* et PIV* si p est pair

ne possède pas les propriétés PIII* et PIV* si p est impair


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