7.4. Hexiquiers ayant une forme quelconque

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Désignons par

                                                    Q p, q  

Un hexiquier ayant une forme quelconque de p rangées et de q colonnes pour lequel on définit 4 côtés non contigus et opposés 2 à 2.

Le diagramme N°1 représente un hexiquier    Q 5, 6.


Pour cet hexiquier on a défini de façon arbitraire 2 côtés opposés blancs B1 et B2 et 2 côtés opposés noirs N1 et N2.

B: (2,3), (3,3), (3,2), (3,1), (4,1), (5,2), (6,2).

B: (2,7), (3,8), (4,8), (5,8), (5,7).

N1 : (1,3), (1,4), (1,5), (1,6).

N2 : (7,3), (7,4), (7,5), (6,5), (6,6), (6,7).


Soit un hexiquier P7, 8  sur lequel on a placé les 2 chaînes de pions blancs b1 et b2 et les 2 chaînes de pions noirs n1 et n2, (Diag. N°2)

b1=(1,2)-(2,3)-(3,3)-(3,2)-(3,1)-(4,1)-(5,2)-(6,2).

b2=(7,8)-(6,8)-(5,7)-(5,8)-(4,8)-(3,8)-(2,7).

n1=(2,8)-(1,7)-(1,6)-(1,5)-(1,4)-(1,3).

n2=(6,1)-(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(6,5)-(6,6)-(6,7).



On observe que l’on a ainsi créé l’hexiquier Q5, 6 au centre de l’hexiquier P7, 8.


Soit une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques, recouvrant la totalité de l’hexiquier Q 5, 6.


Par hypothèse l’hexiquier H8 possède les propriétés P0 et P0*. Par conséquent, grâce à cette hypothèse, nous avons démontré que l’hexiquier P7, 8 possède les propriétés P0 et P0*.


Pour que l’hexiquier P7, 8 possède la propriété P0* il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 rangées extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier Q5, 6 possède une chaîne de pions noirs reliant les cases des côtés N1 et N2, soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 colonnes extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier Q5, 6 possède une chaîne de pions blancs reliant les cases des côtés B1 et B2.


Supposons par conséquent que l’hexiquier Q5, 6 possède la chaîne de pions noirs N1, (Diag. N°3)

N1=(2,5)-(3,5)-(4,5)-(5,5).


Soit maintenant un autre hexiquier P7, 8 sur lequel on a placé les 2 chaînes de pions blancs b1 et b2 et les 2 chaînes de pions noirs n1 et n2, (Diag. N°4).

b1=(2,8)-(1,7)-(1,6)-(1,5)-(1,4)-(1,3).

b2=(6,1)-(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(6,5)-(6,6)-(6,7).

n1=(1,2)-(2,3)-(3,3)-(3,2)-(3,1)-(4,1)-(5,2)-(6,2).

n2=(7,8)-(6,8)-(5,7)-(5,8)-(4,8)-(3,8)-(2,7).


On observe que l’on a ainsi créé l’hexiquier Q5, 6 au centre de cet hexiquier P7, 8.


Plaçons l’hexiquier Q5, 6 du diagramme N°3, entièrement recouvert de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques mais possédant la chaîne de pions noirs N1, à l’intérieur de cet hexiquier P7, 8, (Diag. N°4)


Par hypothèse ce second hexiquier P7, 8 possède la propriété P0. Pour qu’il en soit ainsi, il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 rangées extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier Q5, 6 possède une chaîne de pions blancs B1 reliant les cases des chaînes b1 et b2, (Diag. N°5), soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 colonnes extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier Q5, 6 possède une chaîne de pions noirs N2 reliant les cases des chaînes n1 et n2, (Diag. N°6).

B1=(2,6)-(3,7)-(4,7)-(4,6)-(5,6).

N2=(5,3)-(5,4)-(5,5)-(4,5)-(4,6).


                                             


On notera que dans le premier cas l’hexiquier Q 5 ,6 possède la propriété PI grâce à la chaîne de pions blancs B1 et à la chaîne de pions noirs N1, (Diag. N°5), et que dans le second cas il possède la propriété PIV grâce aux 2 chaînes de pions noirs N1 et N2, (Diag. N°6).


Supposons maintenant que l’hexiquier Q 5,6 possède la chaîne de pions blancs B2, (Diag. N°7)

B2 =(3,7)-(3,6)-(3,5)-(4,5)-(4,4).


Plaçons cet hexiquier Q 5,6 du diagramme N°7entièrement recouvert de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques mais possédant la chaîne de pions blancs B2, à l’intérieur de l’hexiquier P 7, 8 du diagramme N°4, (Diag. N°8).


                                         

Par hypothèse ce second hexiquier P7, 8 possède la propriété P0. Pour qu’il en soit ainsi il est nécessaire qu’il possède soit une chaîne de pions blancs reliant ses 2 rangées extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier Q5, 6 possède une chaîne de pions blancs B3 reliant les cases des chaînes b1 et b2, (Diag. N°9), soit une chaîne de pions noirs reliant ses 2 colonnes extrêmes, et, dans ce cas, l’hexiquier Q5, 6 possède une chaîne de pions noirs N3 reliant les cases des chaînes n1 et n2, (Diag. N°10).

B3=(2,5)-(3,5)-(4,5)-(4,4)-(5,4).

N3=(6,3)-(6,4)-(5,4)-(5,5)-(5,6).


                                                   


On notera que dans le premier cas l’hexiquier Q 5,6 possède la propriété PIII grâce aux 2 chaînes de pions blancs B 2 et B 3, (Diag. N°9), et que dans le second cas il possède la propriété PII grâce à la chaîne de pions blancs B2 et à la chaîne de pions noirs N 3, (Diag. N°10).


Remarquons qu’il est possible que l’hexiquier Q 5,6 possède les propriétés PIII* et PIV* grâce à une chaîne de pions qui relie les 2 cases (2,4) et (5,6), cases communes à 2 côtés adjacents et ombrées en foncé sur la position du diagramme N°11.C’est par exemple le cas pour la chaîne de pions blancs B qui n’a aucun autre contact avec les 4 côtés de l’hexiquier.

B=(2,4)-(3,5)-(4,5)-(5,6).


Cette chaîne B doit être comptée 2 fois, l’une pour relier les cases des côtés B1 et B2 et l’autre pour relier les cases des côtés N1 et N2.


Il n’en est pas de même pour une chaîne de pions qui permettrait de relier les 2 autres cases ombrées (2,6) et (6,3) car pour cette chaîne de pions la case voisine de la case (6,3) a nécessairement un contact avec une case marquée B1 ou  une case marquée N2.

Démontrons maintenant que la condition nécessaire et suffisante pour que le choix de 4 côtés opposés 2 à 2, B1 et B2 d’une part et N1 et N2 d’autre part, soit possible est que 2 chaînes de pions b et n ne soient pas forcées de couvrir une même case.


Reprenons l’hexiquier Q 5, 6 représenté au diagramme  N°1 et soit sur cet hexiquier une répartition quelconque de pions blancs et de pions noirs, en nombres quelconques, (Diag. N°12).


On observe que cet hexiquier possède la propriété PIII grâce aux 2 chaînes de pions blancs B1 et B2.

B1=(3,4)-(3,5)-(4,6).Cette chaîne de pions blancs relie les 2 côtés opposés B1 et B2.

B2=(2,4)-(3,4)-(4,4)-(5,5).Cette chaîne de pions blancs relie les 2 côtés opposés N1 et N2.


Conservons la même répartition des pions sur l’hexiquier Q5, 6 et modifions la définition des 4 côtés opposés 2 à 2. Le diagramme  N°13 donne par exemple une autre définition des 2 côtés opposés B1 et B2 et des 2 cotés opposés N1 et N2.

B1 : (3,8), (2,7), (1,6), (1,5), (1,4), (1,3), (2,3).

B2 : (7,4), (7,5), (6,5), (6,6).

N: (3,3), (3,2), (3,1), (4,1), (5,2), (6,2), (7,3).

N: (4,8), (5,8), (5,7), (6,7).


Soit maintenant un hexiquier P7, 8 sur lequel on a placé les 2 chaînes de pions blancs b1 et b2 et les 2 chaînes de pions noirs n1 et n2, (Diag N°14)

b1=(3,8)-(2,7)-(1,6)-(1,5)-(1,4)-(1,3)-(2,3).

b2= (7, 4)-(7, 5)-(6, 5)-(6, 6).

n1=(3,3)-(3,2)-(3,1)-(4,1)-(5,2)-(6,2)-(7,3).

n2= (4, 8)-(5, 8)-(5, 7)-(6, 7).

                                                               

On notera qu’il est impossible d’empêcher la chaîne de pions blancs b1 d’atteindre la première colonne sans permettre à la chaîne de pions noirs n1 d’atteindre la première rangée. Il est par conséquent nécessaire de supprimer la première rangée et la première colonne de l’hexiquier P7, 8. On obtient ainsi l’hexiquier P6, 7 du diagramme N°15.


On observe sur cet hexiquier P6, 7 que l’hexiquier Q5, 6 possède la propriété PIII grâce aux 2 chaînes de pions blancs B1 et B2.

B1=(2,3)-(2,4)-(3,5). Cette chaîne de pions blancs relie les 2 côtés opposés N1 et N2.

B2=(2,3)-(3,3)-(4,3). Cette chaîne de pions blancs relie les 2 côtés opposés B1 et B2.


Remarquons en passant que pour étudier l’hexiquier Q5, 6 du diagramme N°1 nous aurions pu utiliser l’hexiquier P5, 6  obtenu à partir de l’hexiquier P7, 8 en supposant ses 2 rangées extrêmes et ses 2 colonnes extrêmes, (Diag. N°16).


             


Etudions maintenant l’hexiquier Q6, 6 représenté par le diagramme N°17. On observe que les 3 cases (3,1), (3,2) et (3,3) du côté N1 et les 3 cases (5,2), (5,3) et (5,4) du côté B1 ne sont séparées que par les 3 cases (4,1)-(4,2), et (4,3). Il n’est donc pas possible à la chaîne de pions noirs

N1=----(4,1)-(4,2)-(4,3),

et à la chaîne de pions blancs

B1=(4,3)-(4,2)-(4,1) ----

de passer sur ces 3 cases 4,1)-(4,2) et 4 3).



En revanche les cases (2,1), (2,2), (2,3), (3,4) et (4,4) du côté N1 et les cases (4,4), (5,4), (5,3) et (5,2) du côté adjacent B1 sur le diagramme N°18 sont séparées par les 3 cases (3,1), (3,2) et 3,3) placées sur la 3e rangée et par les 3 cases (4,3), (4,2) et (4,1) placées sur la 4e rangée. Il est donc possible à la chaîne de pions noirs n1 et à la chaîne de pions blancs b1 de longer, à l’extérieur de l’hexiquier Q6, 6, les cases marquées N1 et les cases marquées B1, (Diag. N°19).


     

n1=(1,4)-(1,3)-(1,2)-(1,1)-(2,1)-(3,1)-(4,2)-(4,3)-(4,4).

b1=(5,4)-(5,3)-(5,2)-(6,2)-(7,2)-(7,1)-(8,2)-(8,3)-(8,4)-(8,5)-(8,6).


Ajoutons sur l’hexiquier H8 les 2 autres chaînes de pions b2 et n2.

b2=(2,8)-(3,8)-(2,7)-(1,6)-(1,5).

n2=(8,7)-(7,7)-(7,8)-(6,8)-(5,8).


Observons que l’hexiquier Q6, 6 des diagrammes  N°18 et 19 possède la propriété PIII* grâce à la double chaîne de pions noirs N

N=(5,5)-(5,6)-(4,6)-(4,7)

dont les 2 cases d’extrémités sont reliées à la fois aux 2 côtés opposés B1 et B2 d’une part et aux 2 côtés opposés N1 et N2 d’autre part, sans avoir aucun autre contact avec ces côtés.


Donnons enfin quelques positions Q p, q particulières.


1. Un côté d’un hexiquier Q p, q peut être réduit à une seule case. C’est par exemple le cas de l’hexiquier Q 4, 5 représenté sur le diagramme N°20.


Plaçons cet hexiquier Q4, 5 dans un hexiquier H6, Diag. N°21), sur lequel on a créé les 2 chaînes de pions blancs b1 et b2 et les 2 chaînes  de pions noirs n1 et n2.

b1= (2,6)-(2,5)-(1,4)-(1,3)-(1,2).

b2=(2,1)-(3,1)-(4,1)-(5,2)-(6,3)-(6,4).

n1= (1,1).

n2= (6,5)-(6,6)-(5,6).

                       

On remarque que l’hexiquier Q4, 5 peut posséder les propriétés

PI, (Diag. N°22),

PIII, (Diag. N°23),

PIV, (Diag. N°24),

PIII*, (Diag. N°25) ou PIV*.

Mais pas la propriété PII car 2 chaînes de couleurs différentes ne peuvent pas aboutir à une même case, la case (2,2), ombrée en foncé sur le diagramme N°21.



2. Deux côtés opposés d’un hexiquier Q p, q peuvent être réduits à une seule case chacun. C’est par exemple le cas de l’hexiquier Q4, 3 représenté sur le diagramme N°26.


Plaçons cet hexiquier Q4, 3 dans un hexiquier h5, (Diag. N°27), sur lequel on a créé les 2 chaînes de cases blanches b1 et b2 et les 2 chaînes de cases noires n1 et n2.

b1=(2,1)-(3,1)-(4,2)-(5,3)-(5,4).

b2=(4,5)-(3,5)-(2,5)-(1,4).

n1=(1,1).

n2=(5,5).


               

On remarque que l’hexiquier Q4, 5 peut posséder les propriétés PIII, (Diag. N°28), PIV, (Diag. N°28 en changeant la couleur des pions), PIII*, (Diag. N°29 et Diag. N°30), PIV*, (Diag. N°29 et Diag. N°30 en changeant  la couleur des pions), la propriété PI,  

 

mais pas la propriété PII car 2 chaînes de couleurs différentes ne peuvent pas aboutir à une même case. Remarquons enfin que l’hexiquier Q4, 3 peut être placé dans un hexiquier H4.


3. Enfin deux côtés opposés et un 3e côté peuvent être réduits chacun à une seule case. C’est par exemple le cas de l’hexiquier Q4, 4 représenté sur le diagramme N°31.


Remarquons que cet hexiquier Q4, 4 ne possède que 2 cases communes (ombrées) à 2 côtés adjacents.


Plaçons l’hexiquier Q 4 ,4 dans un hexiquier H7 (Diag. N°32) sur lequel on a créé les 2 chaînes de pions blancs b1 et b2 et les 2 chaînes de pions noirs n1 et n2.

b1=(3,1)-(4,1)-(5,1)-(6,2)-(7,3)-(7,4)-(6,4)-(6,5)-(6,6)-(5,6)-(4,6)-(4,5)-(4,4).

b2= (2,2).

n1= (1,1)-(2,1).

n2=(7,7)-(6,7)-(5,7)-(4,7)-(3,6)-(2,5)-(2,4)-(2,3).

     

Remarquons que l’hexiquier Q4, 4 possède :

1. la propriété P1, (Diag. N°33), grâce à la chaîne de pions blancs (3,3), reliant les 2 côtés extrêmes B1 et B2, et à la chaîne de pions noirs (3,2) reliant aussi les 2 côtés extrêmes B1 et B2 ;

2. la propriété PIII, (Diag. N°34), grâce aux 2 chaînes de pions blancs, l’une (3,3) reliant les 2 côtés opposés B1 et B2, et l’autre (3,3)-(3,2) reliant les 2 côtés opposés N1 et N;

3. la propriété PIV, (Diag. N°35) grâce aux 2 chaînes de pions noirs, l’une (3,3) reliant les 2 côtés opposés B1 et B2, et l’autre (3,3)-(3,2) reliant les 2 côtés opposés N1 et N2.



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