8.3. Démonstration de la propriété PV grâce au raisonnement par récurrence

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Dans la suite nous désignerons par la notation

                                               Yn

un hexiquier du Jeu d’Y ayant n rangées, et par

                                             Yi (u, v)

l’hexiquier d’ordre i dont le sommet en haut du triangle occupe la case (u, v).


Démontrons la propriété PV grâce au raisonnement par récurrence suivant :

1. On vérifie que la propriété PV est vraie pour n=2.

2. On démontre que si on fait l’hypothèse que la propriété PV est vraie pour n alors elle est vraie pour n+1.

3. Etant vraie pour n=2, la propriété PV est alors vraie pour n=3 ; étant vraie pour n=3, la propriété PV est alors vraie pour n=4, etc., etc. Par conséquent la propriété PV est vraie pour toute valeur de n.


8.3.1. La propriété PV est vraie pour n=2.

Dans la suite nous tiendrons compte des 3 symétries de l’hexiquier Yn

Soit un hexiquierY2. Supposons que le pion qui occupe la case (1,1) soit un pion blanc, (Diag. N°2). Ce pion blanc est relié à la 1ère colonne et à la petite diagonale principale. Examinons les 2 cases (2,1) et (2,2). Deux cas sont possibles.

1. L’une de ces 2 cases est occupée par un pion blanc, par exemple la case (2,1), (Diag. N°3). La propriété PV est vérifiée grâce à la chaîne de pions (1,1)-(2,1) qui relie les 3 côtés deY2.

2. Ces 2 cases sont occupées par des pions noirs, (Diag. N°4). La propriété PV est vérifiée grâce à la chaîne de pions (2,1)-(3,1).



Nous avons ainsi vérifié que l’hexiquier Y2 possède la propriété PV.



Pour rendre plus compréhensible la démonstration du point 2 du raisonnement par récurrence, et bien que ce ne soit pas nécessaire, démontrons que, puisque la propriété PV est vraie pour n=2, alors elle est vraie pour n=3.


La propriété PV est vraie pour n=2, par conséquent elle est vraie pour l’hexiquier Y2(1,1). Supposons qu’elle soit réalisée grâce à la chaîne de pions (1,1)-(2,1), (Diag. N°5).


Nous examinerons plus loin le cas où elle est réalisée grâce à la chaîne de pions (2,1)-(2,2).


La propriété PV est vraie pour n=2, par conséquent elle est vraie pour l’hexiquier Y2(2,1). Examinons les 2 cases (3,1) et (3,2). Deux cas sont possibles.

1. L’une de ces 2 cases est occupée par un pion blanc. Dans ce cas la propriété PV est vraie pour Y2(2,1) et aussi pour Y3.

2. Ces 2 cases sont occupées par des pions noirs, (Diag. N°6).


La propriété PV est vraie pour n=2, par conséquent elle est vraie pour l’hexiquierY2(2,2). Examinons les 2 cases (2,2) et (3,3). Deux cas sont possibles.

1. L’une de ces 2 cases est occupée par un pion noir, (Diag. N°7). Dans ce cas la propriété PV est vraie pour l’hexiquier Y2 (2,2), et aussi pour l’hexiquierY3.

2. ces 2 cases sont occupées par des pions blancs, (Diag. N°8). Dans ce cas la propriété PV est vraie pour l’hexiquier Y2(2,2) et aussi pour l’hexiquier Y3.



Supposons maintenant que la propriété PV soit réalisée sur l’hexiquier Y2(1,1) grâce à la chaîne de pions (2,1)-(2,2), (Diag. N°9).


La propriété PV est vraie pour n=2, par conséquent elle est vraie pour l’hexiquier Y2(2,1). Examinons les cases (3,1) et (3,2). Deux cas sont possibles.

1. L’une de ces 2 cases est occupée par un pion blanc. Dans ce cas la propriété PV est vraie pour l’hexiquier Y2(2,1) et aussi pour l’hexiquier Y3.

2. Ces 2 cases sont occupées par des pions noirs, (Diag. N°10).


La propriété PV est vraie pour n=2, par conséquent elle est vraie pour l’hexiquier Y2(2,2), (Diag. N°11). Examinons la case (3,3).


Quelle que soit la couleur du pion qui l’occupe, la propriété PV est vraie pour l’hexiquier P2(2,2) et aussi pour l’hexiquier Y3.


Nous avons ainsi démontré que puisque l’hexiquier Y2 possède la propriété PV alors l’hexiquier Y3 la possède aussi.



8.3.2. Supposons que l’hexiquier Y n possède la propriété PV et démontrons qu’alors l’hexiquier Y n+1 possède aussi cette propriété.


Pour pouvoir représenter les diagrammes nous supposerons que n=6.

Soit l’hexiquier Y n+1.


Par hypothèse l’hexiquier Y n(1,1) possède la propriété PV. Supposons qu’elle soit réalisée par les 3 chaînes de pions blancs (4,2)-(4,3)-(3,3), (4,2)-(3,1) et (4,2)-(5,2)-(6,2), (Diag. N°12). Supposons également que le pion blanc en (4,2) ne soit relié à la base de l’hexiquier Y n(1,1) que par la chaîne de pions blancs (4,2)-(5,2)-(6,2). Cette dernière hypothèse, qui ne réduit pas la généralité de la démonstration, n’est faite que pour simplifier l’exposé de la démonstration. Nous examinerons plus loin le cas où l’une des chaînes de pions comprend la case (1,1) et le cas où les 3 chaînes de pions se confondent en une seule chaîne de pions ayant au moins 2 cases en commun avec la base de l’hexiquier Y n(1,1).


Par hypothèse l’hexiquier Y n(2,1) possède la propriété PV. Examinons les 2 cases (7,3) et (7,2). Deux cas sont possibles.

1. L’une de ces 2 cases est occupée par un pion blanc. Dans ce cas la propriété PV est vraie pour l’hexiquier Y n(2,1) et aussi pour l’hexiquier Y n+1.

2. Ces 2 cases sont occupées par des pions noirs, (Diag. N°13). Ayant fait l’hypothèse que le pion blanc en (4,2) n’est relié à la 6e rangée que par le pion blanc en (6,2), l’hexiquier Y n(2,1) ne peut posséder la propriété PV que grâce à des chaînes de pions noirs. Sur le diagramme N°13 on a représenté les 3 chaînes de pions noirs confondues en une seule chaîne : (6,1)-(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(6,5).


 


Par hypothèse l’hexiquier Yn(2,2) possède la propriété PV. Examinons les 2 cases (5,5) et (6,6). Deux cas sont possibles.

1. L’une de ces 2 cases est occupée par un pion noir. Dans ce cas la propriété PV est vraie pour l’hexiquier Yn(2,2) et aussi pour l’hexiquier Yn+1.

2. Ces 2 cases sont occupées par des pions blancs, (Diag. N°14). Examinons les 2 cases (7,7) et (7,6). Deux cas sont possibles.

1. Ces 2 cases sont occupées par des pions noirs, (Diag. N°15). Dans ce cas la propriété PV est vraie pour l’hexiquier Y n,(2,2) et aussi pour l’hexiquier Y n+1.

2. L’une de ces 2 cases est occupée par un pion blanc. Examinons les 2 cases (4,4) et (5,4). Deux cas sont possibles.

2 .1.L’une de ces 2 cases est occupée par un pion blanc, (Diag. N°16). Dans ce cas la propriété PV est vraie pour l’hexiquier Y n(2,2) et aussi pour l’hexiquier Y n+1.

2. 2. Ces 2 cases sont occupées par des pions noirs, (Diag. N°17). Dans ce cas la propriété PV est vraie pour l’hexiquier Y n(2 ;2) et aussi pour l’hexiquier Y n+1.

                                                               

Remarquons ici que si on avait choisi n=10,  on n’aurait pas eu à examiner les 2 cases (4,4) et (5,4), ce qui est très simple, mais la position ombrée sur le diagramme N°18.Cette position est la position :

Q6, 4= [(4,4), (5,4), (5,3), (9,3), (9,5), (8,5), (8,6), (6,6), (4,4)]


Supposons, comme on l’a fait plus haut, que la chaîne de pions noirs de l’hexiquier Y9(2,1) n’ait que le pion noir en (8,7) sur la diagonale [(2,1), (10,9)].


Reprenons la démonstration précédente. Par hypothèse l’hexiquier Y9(2,2) possède la propriété PV. Puisque le pion noir en (8,7) est le seul sur la diagonale [(2,1), (10, 9)] cette propriété PV peut être réalisée soit par le prolongement de la chaîne de pions noirs jusqu’à la diagonale [(1,1), (10,10)], soit par une chaîne de pions blancs qui relie la 10e rangée à la chaîne de pions blancs

(3,3)-(4,3)-(4,2)-(5,2)-(6,2)-(7,2)-(8,2)-(9,2).


Cette chaîne de pions blancs est, par exemple, la chaîne représentée sur le diagramme N°19 :

(7,3)-(8,4)-(8,5)-(7,5)-(6,5)-(6,6)-(7,7)-(8,8)-(9,8)-(10,9).


Il résulte de ce qui précède que la propriété PV est vraie par hypothèse pour l’hexiquier Y9(2,2) et aussi vraie pour l’hexiquier Y10.



Supposons maintenant que l’hexiquier Y n(1,1) possède la propriété PV grâce à la chaîne de pions blancs (1,1)-(2,1)-(3,1)-(4,2)-(5,2)-(6,2), (Diag. N°20), et que l’hexiquier Y n(2,1) possède la propriété PV grâce à la chaîne de pions noirs (6,1)-(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(6,5). Si l’on suppose que cette chaîne de pions noirs n’a pas d’autres pions situés sur la diagonale [(2,1), (7,6)], alors l’hexiquier Y n(2,2) peut posséder la propriété PV soit  grâce au prolongement de la chaîne de pions noirs jusqu'à la diagonale [(1,1), (7,7)], soit grâce à une chaîne de pions blancs , par exemple la chaîne de pions (3,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,6), (Diag. N°21). Par conséquent la propriété PV est vraie par hypothèse pour l’hexiquier Y n(2,2) et vraie aussi pour l’hexiquier Y n+1.  


Supposons maintenant que l’hexiquier Y n(1,1) possède la propriété PV grâce à la chaîne de pions blancs (6,1)-(6,2)-(6,3)-(6,4)-(6,5)-(6,6)-(6,7), (Diag. N°22). Par hypothèse l’hexiquier Yn(2,1) possède la propriété PIV. Examinons les 6 cases (7,1), (7,2), (7,3), (7,4), (7,5) et (7,6). Deux cas sont possibles.

1. L’une de ces cases est occupée par un pion blanc. Dans ce cas la propriété PV est vraie pour l’hexiquier Y n(2,1) et aussi pour l’hexiquier Y n+1.

2. Les 6 cases sont occupées par des pions noirs.

Par hypothèse l’hexiquier Y n(2,2) possède la propriété PV, (Diag. N°23). Examinons la case (7,7). Quelle que soit la couleur du pion qui occupe cette case la propriété PV est vraie pour l’hexiquier Y n(2,2) et aussi pour l’hexiquier Y n+1.



Supposons enfin que l’hexiquier Y n(1,1) possède la propriété PV grâce à la chaîne de pions blancs (1,1)-(2,1)-(3,1)-(4,1)-(5,1)-(6,1), (Diag. N°24). Par hypothèse l’hexiquier Y n(2,1) possède la propriété PV. Examinons les 2 cases (7,1) et (7,2). Deux cas sont possibles.

1. L’une de ces 2 cases est occupée par un pion blanc. Dans ce cas la propriété PV est vraie pour l’hexiquier Y n(2,1) et aussi pour l’hexiquier Y n+1.

2. Ces 2 cases sont occupées par des pions noirs.

Par hypothèse l’hexiquier Y n(2,1) possède la propriété PV. Cette propriété est réalisée, par exemple, grâce à la chaîne de pions noirs (7,1)-(7,2)-(7,3)-(7,4)-(7,5)-(7,6), (Diag. N°25).



Par hypothèse l’hexiquier Y n(2,2) possède la propriété PV, (Diag. N°26). Examinons les 2 cases (6,6) et (7,7). Deux cas sont possibles.


1. L’une de ces 2 cases est occupée par un pion noir. Dans ce cas la propriété PV est réalisée pour l’hexiquier Y n(2,2) et aussi pour l’hexiquier Y n+1.


2. Ces 2 cases sont occupées par des pions blancs. La propriété PV est réalisée, par exemple, grâce à la chaîne de pions blancs (2,2)-(3,3)-(4,4)-(5,5)-(6,6)-(7,7), (Diag. N°26). Les hexiquiers Y n(2,2) et Y n+1 possèdent alors la propriété PV.



8.3.3. L’hexiquier Y2 possédant la propriété PV, l’hexiquier Y3 possède alors cette propriété; l’hexiquier Y3 possédant cette propriété, l’hexiquierY4 possède alors cette propriété ; l’hexiquier Y4 possédant cette propriété, etc.,etc.

Par conséquent la propriété PV est vraie pour toute valeur de n.


8.3.4. Remarques


Il est toujours possible de considérer qu’un hexiquier ayant la forme d’un triangle est un hexiquier ayant une forme quelconque. Il est alors possible de lui appliquer les résultats que nous avons établis dans le chapitre précédent.


Soit alors un hexiquier Y 7, (Diag. N°27), pour lequel on a défini les 4 zones suivantes. [Les coordonnées des cases se lisent sur le diagramme suivant N°28]

B1 : (3,4), (2,3), (2,2), (3,2), (4,2).

B: (9,2), (10,3), (10,4), (10,5), (10,6), (10,7), (10,8).

N: (5,2), (6,2), (7,2), (8,2).

N: (10,9), (10,10), (9,10), (8,9), (7,8), (6,7), (5,6), (4,5).


Soit aussi un hexiquier H10 sur lequel on a créé les 2 chaînes blanches b1 et b2 et les 2 chaînes noires n1 et n2, (Diag. N°28).

b1=(1,5)-(2,5)-(3,5)-(3,4)-(2,3)-(2,2)-(3,2)-(4,2).

b2=(9,2)-(10,3)-(10,4)-(10,5)-(10,6)-(10,7)-(10,8).

n1=(5,2)-(6,2)-(7,2)-(8,2)-(8,1)-(9,1)-(10,2).

n2=(10,9)-(10,10)-(9,10)-(8,9)-(7,8)-(6,7)-(5,6)-(4,5).

   


On observe qu’on a ainsi créé l’hexiquier Y7,  muni des 4 zones définies précédemment, à l’intérieur de l’hexiquier H10, (Diag. N°28).


On sait que l’hexiquier H10 possède la propriété P0.Par conséquent, quelle que soit la répartition des pions blancs et des pions noirs, en nombres quelconques, qui recouvre la totalité des cases vides de l’hexiquier H10, il existe :

-soit une chaîne de pions blancs reliant les 2 rangées extrêmes de l’hexiquier H10, et,  par conséquent, il existe une chaîne de pions blancs reliant les 2 zones B1 et B2 de l’hexiquier Y7,

-soit une chaîne de pions noirs reliant les 2 colonnes extrêmes de l’hexiquier H10, et, par conséquent, il existe une chaîne de pions noirs reliant les 2 zones N1 et N2 de l’hexiquier Y7.

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