9.2. Vérification des propriétés de répartitions quelconques de pions sur un hexiquier

9. Exemple ››
Parent Previous Next

9.2.1. Hexiquiers ayant la forme générale d’un losange.


Nous savons qu’un hexiquier H comprend (n-1)2 hexiquiers H2, (n-2)2 hexiquiers H 3 , (n-3)2 hexiquiers  H 4 , etc, etc, [n-(n-2)]2 hexiquiers Hn-1 et [n-(n-1)]2 hexiquiers Hn .


1. H2 (u, v). H2(1,1):PIII ;H2(2,1):PI ;H2(3,1):PIII*;H2(4,1):PIII*;H2(5,1):PIII*;H2(6,1):PIII;                                                              H2(1,2):PIII*;H2(2,2):PIII*;H2(3,2):PIII*;H2(4,2):PIII*;H2(5,2):PIII*;H2(6,2):PIII*;                         

                  H2(1,3):PIII*;H2(2,3):PIII;H2(3,3):PIII;H2(4,3):PIII*;H2(5,3):PIII*;H2(6,3)PIII*;

                  H2(1,4):PIII*;H2(2,4):PI;H2(3,4):PIII*;H2(4,4):PIII*;H2(5,4):PIII*;H2(6,4):PIII;

                  H2(1,5):PIII*;H2(2,5):PIII*;H2(3,5):PIII*;H2(4,5):PIII;H2(5,5):PIII*;H2(6,5):PIII*;

                  H2(1,6) :PIII*;H2(2,6):PIII;H2(3,6):PIII*;H2(4,6):PIII;H2(5,6):PIII;;H2(6,6):PII.

2. H3 (u, v). H3(1,1):PIII ;H3(2,1):PI;H3(3,1):PIII*;H3(4,1):PIII*;H3(5,1):PIII*;

                  H3(1,2):PIII;H3(2,2):PIII;H3(3,2):PIII*;H3(4,2):PIII*;H3(5,2):PIII*;

                  H3(1,3):PI;H3(2,3):PIII;H3(3,3):PIII;H3(4,3):PIII*;H(5,3):PIII;

                  H3(1,4):PIII* ; H3(2,4):PI;H3(3,4):PIII;H3(4,4):PIII*;H3(5,4):PIII*;

                H3(1,5):PIII ; H3(2,5):PIII*; H3(3,5):PIII;H3(4,5):PIII;H3(5,5):PII.

3. H4 (u, v).  H4(1,1):PI;H4(2,1):PI;H4(3,1):PIII*; H4(4,1):PIII*;

                         H4(1,2):PIII;H4(2,2):PIII;H4(3,2):PIII*; H4(4,2):PIII;

                   H4(1,3):PI;H4(2,3):PI;H4(3,3):PI;H4(4,3):PIII*;

                    H4(1,4):PIII*; H4 (2,4):PIII;H4(3,4):PIII;H4(4,4):PII.

4. H5 (u, v).   H5(1,1):PI;H5(2,1);PI;H5(3,1):PIII;

                     H5(1,2):PI;H5(2,2):PI;H5(3,2):PIII*;

                     H5(1,3):PI;H5(2,3):PI;H5(3,3):PIII.

5. H6 (u, v).    H6 (11): PI; H6 (2, 1): PIII;

                     H6 (21): PI; H6 (2, 2): PIII.

6. H7 (u, v).     H7 (11): PIII.


9.2.2 Hexiquiers ayant la forme générale d’un triangle équilatéral.

Dans la suite nous noterons par

                               Yi+ (u, v)

le triangle équilatéral d’ordre i ayant pour sommet supérieur la case (u, v), et par

                               Yi-(u, v)

le triangle équilatéral d’ordre i ayant pour sommet inférieur la case (u v).                            


Soit alors Hn un hexiquier d’ordre n.

Dans la suite nous supposerons que  n=7. Il existe, à l’intérieur de l’hexiquier Y7+(1,1) du diagramme N°1,

               1+2+3+- - - + (i-2) + (i-1) +i =1/2 x i x (i+1),hexiquiers Yi+(u, v), (i=1,2, … , 8).


Bien évidemment il existe autant d’hexiquiers Yi+(u, v) que d’hexiquiers Yi-(u, v).

1. Y2+ (u, v). Y2+ (1,1): (1,1)-(2,1); Y2+(2,1): (2,1)-(3,1); Y2+(3,1): (3,1)-(4,2); Y2+(4,1):

               (4,1)-5,2); Y2+ (5,1): (5,1)-(6,2); Y2+(6,1): (7,1)-(7,2); Y2+(2,2): (2,2)-(3,2);

               Y2+(3,2): (3,2)-(4,3); Y2+(4,2): (4,2)-(5,3); Y2+(5,2): (5,2)-(6,3); Y2+(6,2):

               (6,2)-(7,2); Y2+(3,3): (3,3)-(4,3); Y2+(4,3): (4,3)-(5,4); Y2+(5,3): (5,3)-(6,4);

               Y2+(6,3): (6,3)-(7,4); Y2+(4,4):(4,4)-(5,5); Y2+ (5,4):(5,4)-(6,5); Y2+(6,4):

               (7,4)-(7,5); Y2+(5,5): (5,5)-(6,6); Y2+(6,5): (6,5)-(7,6); Y2+(6,6): (7,6)-(7,7);

               Y2+(1,2):(1,2)-(2,3); Y2+(1,3):(1,3)-(2,4); Y2+ (2,3); (3,3)-(3,4); Y2+(1,4) :

               (1,4)-(2,5) ; Y2+(2,4): (2,4)-(3,4); Y2+(3,4): (3,4)-(4,5); Y2+(1,5): (1,5)-(2,5);

               Y2+(2,5): (2,5)-(3,5); Y2+(3,5):(3,5)-(4,6); Y2+(4,5):(5,5)-(5,6); Y2+(1,6) :

               (1,6)-(2,6); Y2+(2,6): (2,6)-(3,6); Y2+(3,6): (3,6)-(4,6); Y2+(4,6): (4,6)-(5,6);

               Y2+(5,6) : (5,6)-(6,6).

2. Y3+ (u, v)    Y3+(1,1): (1,1)-(2,1)-(3,1); Y3+(2,1): (2,1)-(3,1)-(4,2); Y3+(3,1): (3,1)-(4,2)-

               (5,3) ; Y3+(4,1): (4,1)-(5,2)-(6,3); Y3+(5,1):(5,1)-(6,2)-(7,2); Y3+(2,2): (2,2)-

               (3,2)-(4,3) ; Y3+(3,2): (3,2)-(4,3)-(5,4); Y3+(4,2):(4,2)-(5,3)-(6,4); Y3+(5,2):

               (5,2)-(6,3)-(7,4); Y3+(3,3) :(3,3)-(4,3)-(5,4); Y3+(4,3):(4,3)-(5,4)-(6,5); Y3+(5,3) :

               (6,3)-(7,4)-(7,5); Y3(4,4) :(4,4)-(5,5)-(6,6); Y3+(5,4) :(5,4)-(6,5)-(7,5);

               Y3+(5,5) :(6,5)-(7,6)-(7,7); Y3+(1,2) :(2,2)-(3,3)-(3,4); Y3+(1,3): (1,3)-(2,4)-

               (3,4) ; Y3+(2,3): (3,3)-(3,4)-(4,5); Y3+(1,4): (1,4)-(2,5)-(3,5); Y3+(2,4): (2,4)-

               (3,4)-(4,5); Y3+(3,4) :(4,4)-(5,5)-(5,6); Y3+(1,5): (1,5)-(2,5)-(3,6); Y3+(2,5) :

               (2,5)-(3,6)-(4,7); Y3+(3,5) :(3,5)-(4,6)-(5,6); Y3+(4,5) :(5,5)-(6,6)-(6,7).

3. Y4+ (u, v)    Y4+(1,1): (1,1)-(2,1)-(3,1)-(4,2); Y4+(2,1): (2,1)-(3,1)-(4,2)-(5,3); Y4+(3,1):

               (3,1)-(4,2)-(5,3)-(6,4); Y4+(4,1): (4,1)-(5,2)-(6,3)-(7,4); Y4+(2,2): (2,2)-(3,2)-

               (4,3)-(5,4); Y4+(3,2): (3,2)-(4,3)-(5,4)-(6,5); Y4+(4,2): (5,2)-(6,3)-(7,4)-(7,5)

               Y4+(3,3): (3,3)-(4,3)-(5,4)-(6,5); Y4+(4,3): (4,3)-(5,4)-(6,5)-(7,5); Y4+(4,4) :

               (5,4)-(6,5)-(7,6)-(7,7); Y4+(1,2): (2,2)-(3,3)-(3,4)-(4,5); Y4+(1,3): (1,3)-(2,4)-

               (3,4)-(4,5); Y4+(2,3): (3,3)-(3,4) et (3,3)-(4,3)-(5,4); Y4+(1,4) : (1,4)-(2,5)-

               3,5)-(4,6); Y4+(2,4): (4,4)-(5,5)-(5,6)-(4,6); Y4+(3,4): (5,6)-(4,4); (5,5)-(5,6)

               et (5,5)-(6,6).

4. Y5+ (u, v)   Y5+(1,1): (1,1)-(2,1)-(3,1)-(4,2)-(5,3); Y5+( 2,1): (2,1)-(3,1)-(4,2)-(5,3)-(6,4) 

               Y5+(3,1): (4,1)-(5,2)-(6,3)-(7,4)-(7,5): Y5+(2,2): (2,2)-(3,2)-(4,3)-(5,4)-(6,5);

               Y5+(3,2): (3,2)-(4,3)-(5,4)-(6,5)-(7,6); Y5+(3,3): (3,3)-(4,3)-(5,4)-(6,5)-(7,5);

               Y5+(1,2): (3,3)-(2,2);(3,3)-(3,4) et (3,3)-(4,3-(5,4); Y5+(1,3):(1,3)-(2,4)-(3,4)-

               (3,3)-(4,3)-(5,4); Y5+(2,3): (3,3)-(3,4) et (3,3)-(4,3)-(5,4)-(6,5).

5. Y6+ (u, v)   Y6+(1,1): (1,1)-(2,1)-(3,1)-(4,2)-(5,3)-(6,4); Y6+(2,1): (7,5)-(6,5) et (7,5)-(7,4)-

               (6,3)-(5,2)-(4,1); Y6+(2,2): (2,2)-(3,2)-(4,3)-(5,4)-(6,5)-(7,5).

6. Y7+ (u, v)    Y7+(1,1): (7,5)-(7,6)-(7,7) et (7,6)-(7,5)-(7,4)-(6,3)-(5,2-(4,1).


Passons maintenant aux hexiquiers Yi-(u, v).

1. Y2-(u, v)    Y2-(7,7): (6,7)-(6,6); Y2-(6,7): (6,7)-(5,6); Y2-(5,7); (4,7)-(4,6); Y2-(4,7):

                 (4,7)-(3,6); Y2-(3,7): (2,7)-(2,6); Y2-(2,7): (2,7)-(1,6); Y2-(6,6): (6,6)-(5,6);

                 Y2-(5,6): (5,6)-(4,6); Y2-(4,6): (4,6)-(3,6); Y2-(3,6): (3,6)-(2,6); Y2-(2,6): (2,6)-

                (1,6); Y2-(5,5): (5,5)-(4,4); Y2-(4,5): (4,5)-(3,4); Y2-(3,5): (3,5)-(2,5); Y2-(2,5)

               (2,5)-(1,5); Y2-(4,4): (3,4)-(3,3); Y2-(3,4): (3 4)-(2,4); Y2-(2,4): (2,4)-(1,3) ;

               Y2-(3,3): (3,3)-(3,2); Y2-(2,3): (2,3)-(1,2); Y2-(2,2): (1,2)-(1,1); Y2-(7,6): (7,6)-

                  (6,5) ; Y2-(7,5): (7,5)-(6,5); Y2-(6,5): (6,5)-(5,4);  Y2-(7,4): (7,4)-(6,3);

               Y2-(6,4): (6,4)-(5,3); Y2-(5,4): (5,4)-(4,3); Y2-(7,3): (7,3)-(6,2); Y2-(6,3) :

               (6,3)-(5,2); Y2-(5,3): (5,3)-(4,2); Y2-(4,3): (4,3)-(3,3); Y2-(7,2): (7,2)-(6,2);

               Y2-(6,2): (6,2)-(5,1); Y2-(5,2): (5,2)-(4,1); Y2-(4,2): (4,2)-(3,1); Y2-(3,2) :

               (3,2)-(2,2).

2. Y3-(u, v)     Y3-(7,7): (6,7)-(6,6)-(5,5); Y3-(6,7): (6,7)-(5,6)-(4,6); Y3-(5,7): (4,7)-(4,6)-

               (3,5); Y3-(4,7): (4,7)-(3,6)-(2,6); Y3-(3,7): (2,7)-(2,6)-(1,5); Y3-(6,6): (5,5)-

               (4,4) ; Y3-(5,6): (5,6)-(4,6)-(3,5); Y3-(4,6): (4,6)-(3,5)-(2,5); Y3-(3,6): (3,6)-

               (2,5)-(1,4); Y3-(5,5): (4,5)-(3,4)-(3,3); Y3-(4,5): (4,5)-(3,4)-(2,4); Y3-(3,5) :

               (3,5)-(2,5)-(1,4); Y3-(4,4): (3,4)-(3,3)-(2,2); Y3-(3,4): (3,4)-(2,4)-(1,3);

               Y3-(3,3): (2,3)-(1,2)-(1,1); Y3-(7,6):(7,6)-(6,5)-(5,4); Y3-(7,5):(7,5)-(6,5)-

               (5,4) ; Y3-(6,5): (6,5)-(5,4)-(4,3); Y3-(7,4):(7,4)-(6,3)-(5,2); Y3-(6,4):(6,4)-

               (5,3)-(4,2); Y3-(5,4): (5,4)-(4,3)-(3,2); Y3-(7,3): (7,3)-(6,2)-(5,1); Y3-(6,3) :

               (6,3)-(5,2)-(4,1); Y3-(5,3): (5,3)-(4,2)-(3,1); Y3-(4,3): (4,3)-(3,2)-(2,2).

3. Y4-(u, v)     Y4-(7,7): (6,7)-(6,6)-(5,5)-(4,4); Y4-(6,7): (6,7)-(5,6)-(4,6)-(3,5); Y4-(5,7):

               (6,7)-(4,6)-(3,5)-(2,5); Y4-(4,7): (4,7)-(3,6)-(2,6)-(1,5); Y4-(6,6): (6,6)-(5,6)-

               (4,6)-(3,5); Y4-(5,6); (5,6)-(4,6)-(3,5)-(2,5); Y4-(4,6): (4,6)-(3,5)-(2,5)-(1,4);

               Y4-(5,5): (4,5)-(3,4)-(3,3)-(2,2); Y4-(4,5): (4,5)-(3,4)-(2,4)-(1,3); Y4-(4,4) :

               (3,3)-(3,4)-(2,4)-(1,3); Y4-(7,6): (7,6)-(6,5)-(5,4)-(4,3); Y4-(7,5): (7,5)-(6,5)-

               (5,4)-(4,3) ; Y4-(6,5): (6,5)-(5,4)-(4,3)-(3,2); Y4-(7,4): (7,4)-(6,3)-(5,2)-

               (4,1) ; Y4-(6,4): (6,4)-(5,3)-(4,2)-(3,1); Y2-(5,4): (5,4)-(4,3)-(3,3)-(2,2).

4. Y5-(u, v)     Y5-(7,7): (5,6)-(6,7); (5,6)-(5,5) et (5,6)-(4,6)-(3,6); Y5-(6,7):(6,7)-(5,6)-

               (4,6)-(3,6)-(2,5) ; Y5-(5,7): (3,6)-(4,7); (3,6)-(3,5) et (3,6)-(2,5)-(1,5) ;

               Y5-(6,6): (6,6)-(5,6)-(4,6)-(3,5)-(2,5); Y5-(5,6):(5,6)-(4,6)-(3,5)-(2,5)-(1,4) ;

               Y5-(5,5): (3,4)-(4,5);(3,4)-(3,3) et (3,4)-(2,4)-(1,3); Y5-(7,6):(7,6)-(6,5)-

               (5,4)-(4,3)-(3,2);Y5-(7,5): (7,5)-(6,5)-(5,4)-(4,3)-(3,2); Y5-(6,5):(6,6)-(5,4)-

               (4,3)-(3,2)-(2,2).

5. Y6-(u, v)     Y6-(7,7): (5,6)-(6,7); (5,6)-(5,5) et (5,6)-(4,6)-(3,5)-(2,5); Y6-(6,7): (6,7)-(5,6)-

               (4,6)-(3,6)-(2,5)-(1,5); Y6-(6,6): (6,6)-(5,6)-(4,6)-(3,5)-(2,5)-(1,4).

6. Y7-(u, v)     Y7-(7,7): (5,6)-(6,7); (5,6)-(5,5) et (5,6)-(4,6)-(3,5)-(2,5)-(1,4).


9.2.3. Hexiquiers ayant la forme générale d’un parallélogramme.

Notons par

                                       Pi, j (u, v),    i ≠j

l’hexiquier ayant la forme générale d’un parallélogramme comprenant i rangées, j colonnes et dont le sommet sur sa 1ère rangée et sur sa 1ère colonne est la case (u, v).


Par exemple l’hexiquier

                                       P4, 5(3, 2)

possède la propriété P grâce aux 2 chaînes de pions :

B=(3,5)-(4,6)-(5,6)-(6,6).

N=(3,2)-(4,3)-(5,4)-(6,5).


De même l’hexiquier

                                       P6, 4(1,4)

possède la propriété PIII grâce aux 2 chaînes de pions :

B1=(1,6)-(2,6)-(3,6)-(4,6)-(5,6)-(6,6).

B2=(1,4)-(2,5)-(3,6)-(4,7).


Pour ne pas allonger ce chapitre nous ne ferons pas un examen exhaustif des hexiquiers    Pi, j(u, v).



Créé avec HelpNDoc Personal Edition: Générateur de documentation et EPub facile